Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Дати су подскупови \(M_2(\mathbb R):\) \[\begin{aligned}V_1 &= \left\{\begin{pmatrix}a & b\\b &-a\end{pmatrix} \mid a,b \in \mathbb R \right\}, \\V_2 &=\{A \in M_2(\mathbb R) \mid \text{tr } A + \det A = 0\}, \\V_3 &= \{A \in M_2(\mathbb R) \mid A^T = 2A\}.\end{aligned}\]

1. Који од подскупова \(V_i\) су и потпростори векторског простора \(M_2(\mathbb R).\)
2. За све потпросторе \(V_i\) одредити бар по једну базу и димензију векторски простора \(V_i^\perp\) и \(M_2(\mathbb R) /V_i.\)

Дато је пресликавање \[L\colon \mathbb R^3[x] \rightarrow \mathbb R^3, \quad Lp = \left( p(2)-p(1), p'\left( \frac 3 2\right), \int_{-1}^1{p(t)dt}\right).\]

1. Показати да је пресликавање \(L\) линеарно.
2. Одредити бар по једну базу \(\text{Ker } L\) и \(\text{Im } L,\) као и ранг и дефект пресликавања \(L.\)
3. Одредити матрицу пресликавања \(L\) у односу на пар база \[e = \{1+x, 1-x, 1+3x^2\}\quad \text{и} \quad f = \{(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)\}.\]
4. Одредити матрицу транспонованог пресликавања \(L^T\) у односу на пар база \(f^*\) и \(e^*,\) где су \(e^*\) и \(f^*\) дуалне базе база \(e\) и \(f,\) редом.

У зависности од реалног параметра \(x\) израчунати вредност детерминанте \[\begin{vmatrix}1+x^2 & x & 0 & \cdots & 0 & 0\\x & 1+x^2 & x & \cdots & 0 & 0\\0 & x & 1+x^2 & \cdots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 0 & \cdots & 1+x^2 & x\\0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1+x^2\end{vmatrix}\]

1. Одредити Жорданову форму \(J\) матрице \(A = \begin{pmatrix} 2 -& -1 & 1\\ 1 & 5 & -2\\0 & 1 & 2\end{pmatrix},\) као и инвертибилну матрицу \(P\) такву да важи \(A = PJP^{-1}.\)
2. Одредити матрицу \(A^n, \) за све \(n \in \mathbb N.\)

1. Показати да је пресликавање \[\circ\colon \mathbb R^3[x] \times \mathbb R^3[x] \rightarrow \mathbb R, \quad p \circ q = p(-1)q(-1) + p'(0)q'(0) + p'(1)q'(1)\] један скаларни производ на векторском простору \(\mathbb R^3[x].\)
2. Одредити бар једну ортонормирану базу потпростора \(U = \{p \in \mathbb R \mid p''(0) = 0\}.\)
3. Одредити растојање полинома \(p(x) = x^2+x+2\) од потпростора \(U^\perp.\)

1. Испитати да ли је матрица \[A = \begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \beta & \sin \alpha \cos \beta & \sin \beta\\\sin \alpha & -\cos \alpha & 0\\-\cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \sin \beta & \cos \beta\end{pmatrix}\] симетрична/ортогонална у зависности од реалних параметара \(\alpha\) и \(\beta.\)
2. За \(\alpha = \frac \pi 4\) и \(\beta = 0\) одредити ортогоналну матрицу \(P\) такву да матрица \(P^TAP\) буде дијагонална.