Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \(L: \mathbb R^4[x] \rightarrow \mathbb R^4[x]\) пресликавање дефинисано са \[L(p) = p(x)+p(2-x).\]

1. Доказати да је \(L\) линеарни оператор векторског простора \(\mathbb R^4[X]\) и одредити његову матрицу у односу на канонску базу \(e\) простора \(\mathbb R^4[X].\)
2. Одредити бар једну базу језгра \(\text{Ker }L\) и слике \(\text{Im }L,\) као и дефект и ранг линеарног оператора \(L.\)
3. Доказати да је систем \(f = [f_1, f_2, f_3, f_4]\) база векторског простора \(\mathbb R^4[X],\) ако је \(f_1 = 1, f_2 = -2x+x^2, f_3 = 1-x, f_4 = 2x-3x^2+x^3.\) Затим одредити матрицу опеератора \(L\) у односу на базу \(f.\)

Израчунати детерминанту \[D_n(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix}\frac 1 {x_1 + x_1} & \frac 1 {x_1 + x_2} & \cdots & \frac 1 {x_1 + x_n}\\\frac 1 {x_2 + x_1} & \frac 1 {x_2 + x_2} & \cdots & \frac 1 {x_2 + x_n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\frac 1 {x_n + x_1} & \frac 1 {x_n + x_2} & \cdots & \frac 1 {x_n + x_n}\end{vmatrix}.\]

Дата је матрица \[A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1\\ 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & -1\end{bmatrix}.\]

1. Одредити карактеристични и минимални полином матрице \(A.\)
2. да ли је матрица \(A\) слична некој дијагоналној матрици \(D\) над пољем \(\mathbb R?\) Ако јесте, одредити бар једну инверзибилну матрицу \(P\) за коју је \(D = P^{-1}AP.\)
3. Наћи \(A^n, \, n \in \mathbb N.\)

Дато је пресликавање \(\circ\colon \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R\) на следећи начин: \[(x_1, x_2, x_3) \circ (y_1, y_2, y_3) = 4x_1y_1 + 2x_2y_2 + x_3y_3 + 2x_1y_2 + 2 x_2y_1.\]

1. Доказати да је \(\circ\) скаларни производ на векторском простору \(\mathbb R^3.\)
2. Одредити бар једну ортонормирану базу простора \(\mathbb R^3\) у односу на овај скаларни производ.
3. Ако је \(U\) векторски потпростор простора \(\mathbb R^3\) генерисан векторима \(1,0,0)\) и \((-1,2,0), \) одредити ортогоналну пројекцију вектора \(v = (1,2,3)\) на потпростор \(U,\) а затим и растојање тог вектора од потпростора \(U\) и \(U^\perp.\)