Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.
Време израде: 180 минута.
трећи ток
1
Нека је \(L: \mathbb R^4[x] \rightarrow \mathbb R^4[x]\) пресликавање дефинисано са \[L(p) = p(x)+p(2-x).\]
- Доказати да је \(L\) линеарни оператор векторског простора \(\mathbb R^4[X]\) и одредити његову матрицу у односу на канонску базу \(e\) простора \(\mathbb R^4[X].\)
- Одредити бар једну базу језгра \(\text{Ker }L\) и слике \(\text{Im }L,\) као и дефект и ранг линеарног оператора \(L.\)
- Доказати да је систем \(f = [f_1, f_2, f_3, f_4]\) база векторског простора \(\mathbb R^4[X],\) ако је \(f_1 = 1, f_2 = -2x+x^2, f_3 = 1-x, f_4 = 2x-3x^2+x^3.\) Затим одредити матрицу опеератора \(L\) у односу на базу \(f.\)
2
Израчунати детерминанту \[D_n(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix}\frac 1 {x_1 + x_1} & \frac 1 {x_1 + x_2} & \cdots & \frac 1 {x_1 + x_n}\\\frac 1 {x_2 + x_1} & \frac 1 {x_2 + x_2} & \cdots & \frac 1 {x_2 + x_n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\frac 1 {x_n + x_1} & \frac 1 {x_n + x_2} & \cdots & \frac 1 {x_n + x_n}\end{vmatrix}.\]
3
Дата је матрица \[A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1\\ 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & -1\end{bmatrix}.\]
- Одредити карактеристични и минимални полином матрице \(A.\)
- да ли је матрица \(A\) слична некој дијагоналној матрици \(D\) над пољем \(\mathbb R?\) Ако јесте, одредити бар једну инверзибилну матрицу \(P\) за коју је \(D = P^{-1}AP.\)
- Наћи \(A^n, \, n \in \mathbb N.\)
4
Дато је пресликавање \(\circ\colon \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R\) на следећи начин: \[(x_1, x_2, x_3) \circ (y_1, y_2, y_3) = 4x_1y_1 + 2x_2y_2 + x_3y_3 + 2x_1y_2 + 2 x_2y_1.\]
- Доказати да је \(\circ\) скаларни производ на векторском простору \(\mathbb R^3.\)
- Одредити бар једну ортонормирану базу простора \(\mathbb R^3\) у односу на овај скаларни производ.
- Ако је \(U\) векторски потпростор простора \(\mathbb R^3\) генерисан векторима \(1,0,0)\) и \((-1,2,0), \) одредити ортогоналну пројекцију вектора \(v = (1,2,3)\) на потпростор \(U,\) а затим и растојање тог вектора од потпростора \(U\) и \(U^\perp.\)