Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је $L: \mathbb R^4[x] \rightarrow \mathbb R^4[x]$ пресликавање дефинисано са $$L(p) = p(x)+p(2-x).$$

1. Доказати да је $L$ линеарни оператор векторског простора $\mathbb R^4[X]$ и одредити његову матрицу у односу на канонску базу $e$ простора $\mathbb R^4[X].$
2. Одредити бар једну базу језгра $\text{Ker }L$ и слике $\text{Im }L,$ као и дефект и ранг линеарног оператора $L.$
3. Доказати да је систем $f = [f_1, f_2, f_3, f_4]$ база векторског простора $\mathbb R^4[X],$ ако је $f_1 = 1, f_2 = -2x+x^2, f_3 = 1-x, f_4 = 2x-3x^2+x^3.$ Затим одредити матрицу опеератора $L$ у односу на базу $f.$

Израчунати детерминанту $$D_n(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix}\frac 1 {x_1 + x_1} & \frac 1 {x_1 + x_2} & \cdots & \frac 1 {x_1 + x_n}\\\frac 1 {x_2 + x_1} & \frac 1 {x_2 + x_2} & \cdots & \frac 1 {x_2 + x_n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\frac 1 {x_n + x_1} & \frac 1 {x_n + x_2} & \cdots & \frac 1 {x_n + x_n}\end{vmatrix}.$$

Дата је матрица $$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1\\ 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & -1\end{bmatrix}.$$

1. Одредити карактеристични и минимални полином матрице $A.$
2. да ли је матрица $A$ слична некој дијагоналној матрици $D$ над пољем $\mathbb R?$ Ако јесте, одредити бар једну инверзибилну матрицу $P$ за коју је $D = P^{-1}AP.$
3. Наћи $A^n, \, n \in \mathbb N.$

Дато је пресликавање $\circ\colon \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$ на следећи начин: $$(x_1, x_2, x_3) \circ (y_1, y_2, y_3) = 4x_1y_1 + 2x_2y_2 + x_3y_3 + 2x_1y_2 + 2 x_2y_1.$$

1. Доказати да је $\circ$ скаларни производ на векторском простору $\mathbb R^3.$
2. Одредити бар једну ортонормирану базу простора $\mathbb R^3$ у односу на овај скаларни производ.
3. Ако је $U$ векторски потпростор простора $\mathbb R^3$ генерисан векторима $1,0,0)$ и $(-1,2,0),$ одредити ортогоналну пројекцију вектора $v = (1,2,3)$ на потпростор $U,$ а затим и растојање тог вектора од потпростора $U$ и $U^\perp.$