Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \(L\) линеарни оператор векторског простора \(V.\) Доказати да је \(L^2 = I\) ако и само ако је \(V = U_1 \oplus U_2,\) где је \(U_1 = \{v \in V \mid L(v) = v\}\) и \(U_2 = \{v \in V \mid L(v) = -v\}.\)

Нека је \(L\colon M_2(\mathbb R) \rightarrow M_2(\mathbb R)\) дефинисано са \[L(X) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4\end{bmatrix} \cdot X.\]

1. Доказати да је \(L\) линеарни оператор векторског простора \(M_2(\mathbb R)\) и одредити његову матрицу у односу на канонску базу \(e\) простора \(M_2(\mathbb R).\)
2. Одредити бар једну базу језгра \(\text{Ker }L\) и слике \(\text{Im }L,\) као и дефект и ранг линеарног оператора \(L.\)
3. Одредити сопстевене вредности и сопствене векторе оператора \(L.\) Наћи бар једну базу \(f\) простора \(M_2(\mathbb R)\) у којој \(L\) има дијагоналну матрицу \(D.\)

Дато је пресликавање \(\circ\colon \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R\) на следећи начин: \[(x_1, x_2, x_3) \circ (y_1, y_2, y_3) = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_1 y_3 - x_3 y_1 + 4 x_3 y_3.\]

1. Доказати да је \(\circ\) скаларни производ на векторском простору \(\mathbb R^3.\)
2. Одредити бар једну ортонормирану базу простора \(\mathbb R^3\) у односу на овај скаларни производ.
3. Ако је \(U = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0\},\) одредити ортогоналну пројекцију вектора \(v = (3,2,1)\) на потпростор \(U, \) а затим и растојање тог вектора од потпростора \(U\) и \(U^\perp.\)

Нека је \(e = [e_1, e_2, e_3]\) ортонормирана база еуклидског векторског простора \(V\) и нека је дата квадратна форма \(\Phi\) на следећи начин: \[\Phi (v) = 5x^2 + 5y^2+5z^2 + 2xy + 2xz - 2yz, \quad v = xe_1 + ye_2 + ze_3.\]

1. Одредити бар једну ортонормирану базу \(f = [f_1, f_2, f_3]\) простора \(V\) у којој форма \(\Phi\) има канонски облик.
2. Изразити \(\Phi\) преко координата \(x', y', z'\) у новој бази \(f.\)
3. Написати формуле трансформације координата.