Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је $U = \{p \in \mathbb R^4[x] \mid p(1) = p'(1), p(0) = p(-1)\}$ и $V = \mathcal L(p_1, p_2, p_3, p_4),$ где је $$\begin{aligned} p_1(x) & = 3+ x^2+x^3,\\p_2(x) & = 2-2x-x^2+x^3,\\p_3(x) & = 4+2x+3x^2+x^3,\\p_4(x) & = 1+2x+2x^2 \end{aligned}.$$

1. Одредити по једну базу и димензију векторских потпростора $U+V$ и $U \cap V.$ Да ли је претходна сума директна?
2. Одредити све $\lambda \in \mathbb R$ за које полином $2 + x + \lambda x^2 + x^3$ припада $U+V.$

Одредити све матрице $A$ за које је $$\text{adj }A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\ -6 & 9 & -1\\8 & -12 & 2\end{pmatrix}$$

Нека је $$L\colon \mathbb R^3[x] \rightarrow \mathbb R^3[x],\quad L(p)(x) = p''(0)x^3 - p'(x)(x^2-x+1) = p(-1).$$

1. Показати да је $L$ добро дефинисан линеарни оператор на векторском простору $\mathbb R^3[x].$
2. Одредити бар по једну базу $\text{Ker } L$ и $\text{Im }L,$ као и ранг и дефект оператора $L.$
3. Одредити сопствене вредности и сопствене векторе оператора $L.$

Израчунати вредност детерминанте$$\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\1 & 2 \choose 1 & 2 \choose 2 & 0 & \cdots & 0\\1 & 3 \choose 1 & 3 \choose 2 & 3 \choose 3 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & n \choose 1 & n \choose 2 & n \choose 3 & \cdots & n \choose {n-1}\end{vmatrix}$$

Нека је $A$ квадратна $3 \times 3$ матрица детерминанте $-4$ и трага $1$ чија је једна сопствена вредност $1.$

1. Одредити све сопствене вредности матрице $A.$
2. Одредити димензију $\mathcal L(E, A, A^2, A^3, \ldots, A^{100}).$
3. Показати да је $\mathcal L(E, A, A^2, A^3, \ldots, A^{100}) = \mathcal L(E, A^2, A^4, A^6, \ldots, A^{100}).$

1. Одредити $3 \times 3$ матрицу $A$ такву да је пресликавање $v \mapsto Av$ представља пројекцију на раван $\pi: x - 2y -2z=0$ у векторском простору $\mathbb R^3$ (са стандардним скаларним производом).
2. Израчунати угао који вектор $(1,1,1)$ заклапа са равни $\pi.$