Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \(U = \{p \in \mathbb R^4[x] \mid p(1) = p'(1), p(0) = p(-1)\}\) и \(V = \mathcal L(p_1, p_2, p_3, p_4),\) где је \[\begin{aligned} p_1(x) & = 3+ x^2+x^3,\\p_2(x) & = 2-2x-x^2+x^3,\\p_3(x) & = 4+2x+3x^2+x^3,\\p_4(x) & = 1+2x+2x^2 \end{aligned}.\]

1. Одредити по једну базу и димензију векторских потпростора \(U+V\) и \(U \cap V.\) Да ли је претходна сума директна?
2. Одредити све \(\lambda \in \mathbb R\) за које полином \(2 + x + \lambda x^2 + x^3\) припада \(U+V.\)

Одредити све матрице \(A\) за које је \[\text{adj }A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\ -6 & 9 & -1\\8 & -12 & 2\end{pmatrix}\]

Нека је \[L\colon \mathbb R^3[x] \rightarrow \mathbb R^3[x],\quad L(p)(x) = p''(0)x^3 - p'(x)(x^2-x+1) = p(-1).\]

1. Показати да је \(L\) добро дефинисан линеарни оператор на векторском простору \(\mathbb R^3[x].\)
2. Одредити бар по једну базу \(\text{Ker } L\) и \(\text{Im }L,\) као и ранг и дефект оператора \(L.\)
3. Одредити сопствене вредности и сопствене векторе оператора \(L.\)

Израчунати вредност детерминанте\[\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\1 & 2 \choose 1 & 2 \choose 2 & 0 & \cdots & 0\\1 & 3 \choose 1 & 3 \choose 2 & 3 \choose 3 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & n \choose 1 & n \choose 2 & n \choose 3 & \cdots & n \choose {n-1}\end{vmatrix}\]

Нека је \(A\) квадратна \(3 \times 3\) матрица детерминанте \(-4\) и трага \(1\) чија је једна сопствена вредност \(1.\)

1. Одредити све сопствене вредности матрице \(A.\)
2. Одредити димензију \(\mathcal L(E, A, A^2, A^3, \ldots, A^{100}).\)
3. Показати да је \(\mathcal L(E, A, A^2, A^3, \ldots, A^{100}) = \mathcal L(E, A^2, A^4, A^6, \ldots, A^{100}).\)

1. Одредити \(3 \times 3\) матрицу \(A\) такву да је пресликавање \(v \mapsto Av\) представља пројекцију на раван \(\pi: x - 2y -2z=0\) у векторском простору \(\mathbb R^3\) (са стандардним скаларним производом).
2. Израчунати угао који вектор \((1,1,1)\) заклапа са равни \(\pi.\)