Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

1. Показати да је скуп \(V = \left\{\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & b\end{pmatrix} \mid a,b > 0\right\}\) са операцијама\[A \oplus B = A\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} B \quad \text{ и } \quad \alpha \odot \begin{pmatrix}a & 0\\ 0 & b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^\alpha & 0\\0 & 2^{\alpha -1}b^\alpha\end{pmatrix}\]један векторски простор над пољем реалних бројева.
2. Испитати да ли су подскупови \(U_1 = \left\{\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a+1\end{pmatrix} \mid a > 0\right\}\) и \(U_2 = \{M \in V \mid \det M = \frac 1 2\}\) потпростори векторског простора \((V, \oplus, \odot).\)

Одредити инверз матрице

Дате су матрице \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\1 & 0\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & 0\\1& 3\end{pmatrix}\) и \(D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1\end{pmatrix}\) и полиноми \(p(x) = 1+2x, \, q(x) = x-x^2\) и \(r(x) = 1-3x+2x^2.\)

1. Показати да је пресликавање\[L\colon M_2(\mathbb R \rightarrow \mathbb R^3[x], \quad L(M) = (M \circ A)p + (M \circ B)q + (C \circ M)(q+r)\] линеарно ако је скаларни производ на \(M_2(\mathbb R)\) задат са \(A \circ B = \text{tr }(AB^T).\)
2. Одредити бар по једну базу \(\text{Ker }L\) и \(\text{Im }L,\) као и ранг и дефект пресликавања \(L.\)
3. Одредити матрицу пресликавања \(L\) у односу на пар канонских база, као и у односу на пар база \(\{A, B, C, D\}\) и \(\{p, q, r\}.\)

У зависности од реалног парамерта \(\alpha\) израчунати вредност детерминанте реда \(n\)\[\begin{vmatrix}\alpha & \alpha & \cdots & \alpha & \alpha & \frac 1 n\\\alpha & \alpha & \cdots & \alpha & \frac 1 {n-1} & \alpha\\\alpha & \alpha & \cdots & \frac{1}{n-2} & \alpha & \alpha\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\\alpha & \frac 1 2 & \cdots & \alpha & \alpha & \alpha\\1 & \alpha & \cdots & \alpha & \alpha & \alpha\end{vmatrix}\]

1. Одредити Жорданову канонску форму \(J\) матрице \[\begin{pmatrix}1 & -1 & -2 & 3 & 2\\0 & 0 & -2 & 3 & 1\\0 & 1 & 1& -1 & 0\\0 & 0 & -1 & 2 & 5\\0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\]
2. Израчунати \(J^{100}.\)

1. Показати да је пресликавање \[\circ\colon \mathbb R[x] \times \mathbb R[x] \rightarrow \mathbb R, \quad p \circ q = \frac 1 \pi \int_{-1}^1\frac{p(t)q(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt\]скаларни производ на векторском простору \(\mathbb R[x].\)
2. Одредити бар једну ортонормирану базу векторског потпростора \(\mathbb R^3[x].\)
3. Израчунати угао који полином \(x^2\) заклапа са потпростором \(\mathbb R^2[x].\)