Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

1. У зависности од реалног параметра \(\alpha\) одредити скуп решења \(U\) система једначина \[\begin{array}{rcrcrcrcr} \alpha x & + & 2y & + & z & - & (1+\alpha)t & = & 0\\ -\alpha x & + & 2y & + & 3z & && = &0\\ (1+\alpha) x & + & 2y &&& - & (1+2 \alpha)t & = & 0\\ 4x & + & 2y & - & 2z & - & (3 + 2\alpha)t & = & 0\end{array}\]
2. Одредити бар једну базу и димензију ортогоналне допуне \(U^\perp,\) ако је скаларни производ на \(\mathbb R^4\) задат са \((a,b,c,d) \circ (a',b',c',d') = aa' + 2bb' + cc' + dd'.\)
3. Одредити бар по једну базу и димензију \(U +V\) и \(U \cap V,\) где је \(V = \mathcal L((1,-1,1,0), (1,0,1,-1), (0,-1,0,1)).\) Да ли је претходна сума директна?

Испитати да ли је подскуп \(U\) потпростор векторског простора \(V\) и ако јесте одредити базу и димензију \(U\) ако је

1. \(V = M_2(\mathbb R), U = \{M \in V \mid \text{tr } M = \det M\},\)
2. \(V = M_2(\mathbb R), U = \{M \in V \mid \text{tr } M = \text{tr }(A^TMA\},\) где је \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\1 & 0 & 1\end{pmatrix},\)
3. \(V = \mathbb R^6[x], \, U = \{p \in V \mid \deg p + \deg(p(1)x^3)\lt 6\}.\)

1. Показати да је пресликавање \[L: \mathbb R^3[x] \rightarrow M_2(\mathbb R), \quad Lp = \begin{pmatrix}p(0) & 3 \int\limits_0^1p(t)dt - \frac 3 2 p'(0)\\ p(1)+p(-1) & \frac{p''(3)}2\end{pmatrix}\] линеарно.
2. Одредити бар по једну базу \(\text{Ker }L\) и \(\text{Im } L,\) као и ранг и дефект пресликавања \(L.\)
3. Одредити матрицу пресликавања \(L\) у односу на пар база \(\{1 + x + x^2, 1 - 2x + x^2, -1 + x + 2x^2\}\) и \(\left\{\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\right\}\)

Нека је \[\Delta_n = \begin{vmatrix}5 & 3 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\2 & 5 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 0\\0 & 2 & 5 & 3 & \cdots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 2 & 5 & \cdots & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 5\end{vmatrix}\] детерминанта реда \(n.\)

1. Показати да важи \(\Delta_{n+2} = 5\Delta_{n+1} - 6 \Delta_n,\) за све \(n \in \mathbb N.\)
2. Израчунати \(\Delta_n.\)

Нека је \[A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 3\\ 1 & 1 & -1\\0 & -1 & 2\end{pmatrix}.\]

1. Одредити Жорданову форму \(J\) матрице \(A\) и инвертибилну матрицу \(P\) такве да важи \(A = PJP^{-1}.\)
2. Израчунати \(A^n, n \in \mathbb N.\)

1. Показати да је пресликавање\[\circ: \mathbb R^3[x] \times \mathbb R^3[x] \rightarrow \mathbb R, \quad p \circ q = p(0)q(0) + p(1)q(1) + \frac{p''(0)q''(0)}{4}\] скаларни производ на \(\mathbb R^3[x].\)
2. Одредити бар једну ортонормирану базу \(\mathbb R^3[x].\)
3. Израчунати растојање полинома \(1 + x + x^2\) од потпростора \(\mathbb R^2[x].\)
4. Израчунати угао између полинома \(1 + x + x^2\) и ортогоналне допуне \(\mathbb R^2[x]^\perp.\)