Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \(\mathbb R ^ \mathbb N\) скуп свих реалних низова и нека је \[U = \{x \in \mathbb R ^ \mathbb N \mid x \text{ је аритметички }\}\] и \[V = \{x = (x_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathbb R^n \mid x_{n+3} = 5x_{n+2} - 8x_{n+1} + 4 x_n, \, \forall n \in \mathbb N\}.\]

1. Показати да су \(U\) и \(V\) векторски потпростори од \(\mathbb R ^ \mathbb N.\)
2. Одредит бар по једну базу и димензију \(U\) и \(V.\)
3. Одредити бар по једну базу и димензију \(U + V\) и \(U \cap V.\) Да ли је претходна сума директна?

1. У зависности од реалног параметра \(\lambda\) одредити ранг матрице \[A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda+ 2 & -1 & \lambda +1\\ \lambda + 1 & 6 & -2 & 4\\ -1 & -3 & \lambda & \lambda -3\end{pmatrix}\]
2. За \(\lambda = -5\) одредити канонску матрицу \(A^0,\) као и инвертибилне матрице \(P\) и \(Q\) такве да важи \(A^0 = PAQ.\)

Линеарно пресликавање \(L\colon \mathbb R^3[x] \rightarrow \mathbb R^3\) има матрицу \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\3 & 0 & -3\\4 & -5 & -19\end{pmatrix}\) у односу на пар база \(e = \{1+x, 1-x, 1+2x^2\}\) и \(f = \{(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)\}.\)

1. Одредити матрицу пресликавања \(L\) у односу на пар канонских база векторских простора \(\mathbb R^3[x]\) и \(\mathbb R^3.\)
2. Одредити бар по једну базу \(\operatorname{Ker } L\) и \(\operatorname{Im }L,\) као и ранг и дефект пресликавања \(L.\)

Израчунати вредност детерминанте \[\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n\\1 & 8 & 27 & \cdots & n^3\\1 & 32 & 243 & \cdots & n^5\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & 2^{2n-1} & 3^{2n-1} & \cdots & n^{2n-1}\end{vmatrix}\]

Израчунати\[\min_{\substack{p \in \mathbb R^3[x]\\ p(0) = p''(0)}} \int_{-1}^1{\lvert x \rvert (p(x) - 14)^2\, dx}.\]

Нека је \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\-2 & 4 & -4\\ 2 & -4 & 4\end{pmatrix}.\)

1. Одредити дијагоналну матрицу \(D\) и ортогоналну матрицу \(P\) такве да важи \(A = PDP^T.\)
2. Израчунати \(A^{2019}.\)
3. Свести квадратну форму на \(q(x,y,z) = x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 4xy + 4xz - 8yz\) на дијагонални облик.