Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је $\mathbb R ^ \mathbb N$ скуп свих реалних низова и нека је $$U = \{x \in \mathbb R ^ \mathbb N \mid x \text{ је аритметички }\}$$ и $$V = \{x = (x_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathbb R^n \mid x_{n+3} = 5x_{n+2} - 8x_{n+1} + 4 x_n, \, \forall n \in \mathbb N\}.$$

1. Показати да су $U$ и $V$ векторски потпростори од $\mathbb R ^ \mathbb N.$
2. Одредит бар по једну базу и димензију $U$ и $V.$
3. Одредити бар по једну базу и димензију $U + V$ и $U \cap V.$ Да ли је претходна сума директна?

1. У зависности од реалног параметра $\lambda$ одредити ранг матрице $$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda+ 2 & -1 & \lambda +1\\ \lambda + 1 & 6 & -2 & 4\\ -1 & -3 & \lambda & \lambda -3\end{pmatrix}$$
2. За $\lambda = -5$ одредити канонску матрицу $A^0,$ као и инвертибилне матрице $P$ и $Q$ такве да важи $A^0 = PAQ.$

Линеарно пресликавање $L\colon \mathbb R^3[x] \rightarrow \mathbb R^3$ има матрицу $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\3 & 0 & -3\\4 & -5 & -19\end{pmatrix}$ у односу на пар база $e = \{1+x, 1-x, 1+2x^2\}$ и $f = \{(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)\}.$

1. Одредити матрицу пресликавања $L$ у односу на пар канонских база векторских простора $\mathbb R^3[x]$ и $\mathbb R^3.$
2. Одредити бар по једну базу $\operatorname{Ker } L$ и $\operatorname{Im }L,$ као и ранг и дефект пресликавања $L.$

Израчунати вредност детерминанте $$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n\\1 & 8 & 27 & \cdots & n^3\\1 & 32 & 243 & \cdots & n^5\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & 2^{2n-1} & 3^{2n-1} & \cdots & n^{2n-1}\end{vmatrix}$$

Израчунати$$\min_{\substack{p \in \mathbb R^3[x]\\ p(0) = p''(0)}} \int_{-1}^1{\lvert x \rvert (p(x) - 14)^2\, dx}.$$

Нека је $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\-2 & 4 & -4\\ 2 & -4 & 4\end{pmatrix}.$

1. Одредити дијагоналну матрицу $D$ и ортогоналну матрицу $P$ такве да важи $A = PDP^T.$
2. Израчунати $A^{2019}.$
3. Свести квадратну форму на $q(x,y,z) = x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 4xy + 4xz - 8yz$ на дијагонални облик.