07.07.2020.
Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.
Време израде: 180 минута.
четврти ток
1
- Нека је \(A = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 3 & 2\end{pmatrix}.\) Одредити канонску матрицу \(A^0\) матрице \(A,\) као и бар један пар инвертибилних матрица \(P\) и \(Q\) таквих да важи \(A^0 = PAQ.\)
- Ако је \(L: \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^3\) линеарно пресликавање чија је матрица у односу на пар канонских база \(\mathbb R^4\) и \(\mathbb R^3\) једнака \(A,\) одредити бар један пар база \(\mathbb R^4\) и \(\mathbb R^3\) у ком је матрица \(L\) једнака \(A^0.\)
2
3
- Доказати да је \(L\) линеарни оператор.
- Одредити матрицу овог оператора у односу на канонску базу \(M_2(\mathbb Z_5).\)
- Одредити карактеристични и минимални полинм овог оператора. Да ли је оператор дијагоналног типа?
- Одредити језгро, слику, дефект и ранг овог оператора. Колико вектора садржи језгро?
4
- Ако матрица \(A \in M_n(\mathbb C)\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb C)\) и \(\det A \neq 0,\) онда ниједан степен матрице \(A\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb C).\)
- Ако матрица \(A \in M_n(\mathbb C)\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb C)\) и \(\det A = 0,\) онда ниједан степен матрице \(A\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb C).\)
- Ако матрица \(A \in M_n(\mathbb R)\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb R)\) и \(\det A \neq 0,\) онда ниједан степен матрице \(A\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb R).\)
5
- Доказати да је ово пресликавање скаларни производ на \(\mathbb R^4[x].\)
- Одредити растојање вектора \(p(x) = 1+x+x^2\) од потпростора \(U = \mathcal L(1+x, 1+x^3),\) као и угао који \(p\) заклапа са потпростором \(U^\perp.\)