07.07.2020.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Време израде: 180 минута.

четврти ток

1

Нека је \(A = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 3 & 2\end{pmatrix}.\) Одредити канонску матрицу \(A^0\) матрице \(A,\) као и бар један пар инвертибилних матрица \(P\) и \(Q\) таквих да важи \(A^0 = PAQ.\)
Ако је \(L: \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^3\) линеарно пресликавање чија је матрица у односу на пар канонских база \(\mathbb R^4\) и \(\mathbb R^3\) једнака \(A,\) одредити бар један пар база \(\mathbb R^4\) и \(\mathbb R^3\) у ком је матрица \(L\) једнака \(A^0.\)

Нека је \(U = \mathcal \{(1,2,3,1), (2,4,0,2), (3,2,3,1), (1,2,-3,1), (5,6,3,3)\}\) потпростор \(\mathbb R^4,\) и нека је \(V\) скуп решења система линеарних једначина \[\begin{array}{rcrcrcrcrc}2x & - & y & + & z & - & 3t & = & 0\\3x & - & 2y & & & + & t & = & 0\\7x & - & 4y & + & \alpha z & + & (1-3\alpha) t & = & 0\end{array}\]Одредити параметар \(\alpha \in \mathbb R\) за који је простор \(V\) димензије \(2. \) За ту вредност параметра \(\alpha\) одредити базу и димензију \(U + V\) и \(U \cap V.\)

3

Нека је \[L: M_2(\mathbb Z_5) \rightarrow M_2(\mathbb Z_5), \quad L(X) = CXC^T + 4X^T,\] где је \(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.\)

Доказати да је \(L\) линеарни оператор.
Одредити матрицу овог оператора у односу на канонску базу \(M_2(\mathbb Z_5).\)
Одредити карактеристични и минимални полинм овог оператора. Да ли је оператор дијагоналног типа?
Одредити језгро, слику, дефект и ранг овог оператора. Колико вектора садржи језгро?

4

Доказати или навести контрапример:

Ако матрица \(A \in M_n(\mathbb C)\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb C)\) и \(\det A \neq 0,\) онда ниједан степен матрице \(A\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb C).\)
Ако матрица \(A \in M_n(\mathbb C)\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb C)\) и \(\det A = 0,\) онда ниједан степен матрице \(A\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb C).\)
Ако матрица \(A \in M_n(\mathbb R)\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb R)\) и \(\det A \neq 0,\) онда ниједан степен матрице \(A\) није дијагоналног типа у \(M_n(\mathbb R).\)

5

Дато је пресликавање \[\mathbb R^4[x] \times \mathbb R^4[x] \rightarrow \mathbb R, \quad p \circ q = p(0)q(0) + p'(0)q'(0) + p''(0)q''(0) + p'''(0)q'''(0).\]

Доказати да је ово пресликавање скаларни производ на \(\mathbb R^4[x].\)
Одредити растојање вектора \(p(x) = 1+x+x^2\) од потпростора \(U = \mathcal L(1+x, 1+x^3),\) као и угао који \(p\) заклапа са потпростором \(U^\perp.\)

6

Odrediti sve ortogonalne \(4 \times 4\) matrice chije su prve dve kolone redom \[ \begin{pmatrix} \frac 1 2\\ \frac 1 2\\ \frac 1 2\\ \frac 1 2 \end{pmatrix} \text{ и } \begin{pmatrix} \frac {\sqrt 3} 2\\ - \frac {\sqrt 3} 6\\ - \frac {\sqrt 3} 6\\ - \frac {\sqrt 3} 6 \end{pmatrix} \]