Колоквијум из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Решити систем једначина\[\begin{array}{rcrcrcr}x & + & 2y & + & (\alpha -1)z & = & 1\\-x & - & y & + & z & = & 0\\-\alpha x & - & (\alpha + 3) y & - & \alpha z & = & -3\\-\alpha x & - & (\alpha + 2)y & &&=&\alpha^2-5\alpha-2\end{array}\]над пољима \(\mathbb R\) и \(\mathbb Z_5,\) у зависности од параметра \(\alpha.\)

Дата је матрица \[A = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 & 9 \\-1 & 5 & 1& 12\\ -6 & 7 & 4 & 20\\ 0 & 0 & 0& a-1\end{pmatrix}\] над пољем \(\mathbb R.\)

1. У зависности од реалног параметра \(\alpha,\) одредити канонску матрицу \(A^0\) матрице \(A\) и инвертибилне матрице \(P\) и \(Q\) такве да је \(A^0 = PAQ.\)
2. У зависности од реалног параметра \(a, \) испитати инвертибилност матрице \(A.\) Одредити инверз матрице \(A\) за \(a=2,\) ако постоји.
3. За \(a = 1,\) одредити матрице \(B\) формата \(m \times n\) и \(C\) формата \(p \times q\) тако да је \(A = BC\) и \(m+n+p+q\) минималан.

Нека је \(U = \{p \in \mathbb R^4[x]: p'(2) = 0\}\) и \(V = \{p \in \mathbb R^4[x]: p''(2) = 0\}.\)

1. Доказати да су \(U, V \leq \mathbb R^4[x]\) и одредити базе и димензије потпростора \(U, V, U \cap V\) и \(U + V.\)
2. Одредити \(S \leq \mathbb R^4[x]\) такав да важи \[U \oplus S = V \oplus S = \mathbb R^4[x].\]