Колоквијум из предмета
Линеарна алгебра
За смерове Л, М, Н, Р, В.
Време израде: 180 минута.
четврти ток
Решити систем једначина над пољем \(\mathbb Z_{11}:\)\[\begin{array}{rcrcrcr}4x & + & y & + & 9z & = & 10\\3x & + & 4y & + & 2z & = & 5\\8x & + & 10y & + & 6z & = & 3\end{array}\]
Нека је \[A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & 0 & 1\end{pmatrix}\]квадратна \(n \times n\) матрица, где је \(n\) непаран број. Израчунати \(A^n.\)
- Израчунати инверз матрице \(A \begin{pmatrix} 3 & -6 & 2\\ 5 & 3 & \alpha \\ 0 & -4 & 1\end{pmatrix}\) за све вредности реалног параметра \(\alpha\) за које тај инверз постоји.
- Показати да постоји тачно једно \(\alpha\) за које је ранг матрице \(A\) једнак \(2.\) За ту вредност \(\alpha\) наћи баар један пар инвертибилних матрица \(P\) и \(Q\) такав да је \(PAQ = A^0.\)
Израчунати вредност детерминанте\[\begin{vmatrix}1 & 4 & 7 & 10 & \cdots & 3n-5 & 3n-2\\2 & 1 & 2& 2 & \cdots & 2 & 2\\3 & 3 & 1 & 3 & \cdots & 3 & 3 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\n-1 & n-1 & n-1 & n-1 & \cdots & 1 & n-1\\n & n & n& n& \cdots & n & 1\end{vmatrix}\]
Испитати да ли је \((V, \oplus, \bullet)\) векторски простор над пољем \(\mathbb R\) ако је \(V = \{p \in \mathbb R^3[x] | p(0) > 0\},\) а операције су задате са \[(p \oplus q)(x) = p(x)+q(x)+(p(0)-1)(q(0)-1)-1\] и \[(\alpha \bullet p)(x) = \alpha p(x)+p(0)^\alpha - \alpha p(0).\]
За сваки од наредних подскупова \(M_2(\mathbb R)\) испитати да ли је векторски потпростор векторског простора \(M_2(\mathbb R)\) и уколико јесте одредити његову базу и димензију:- \(\left\{\begin{pmatrix} x & y\\z & t \end{pmatrix} \mid x+2y = 3z+4t =0 \right\}, \quad \{X \in M_2(\mathbb R) | X^2 = 0\},\)
- \(\{X \in M_2(\mathbb R) | XA = (\text{tr } X)A\},\) где је \(A \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4 \end{pmatrix}.\)