МАТФ РОКОВИ
22.01.2020.

Колоквијум из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Време израде: 180 минута.

четврти ток

1

Решити систем једначина над пољем \(\mathbb Z_{11}:\)\[\begin{array}{rcrcrcr}4x & + & y & + & 9z & = & 10\\3x & + & 4y & + & 2z & = & 5\\8x & + & 10y & + & 6z & = & 3\end{array}\]

2

Нека је \[A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & 0 & 1\end{pmatrix}\]квадратна \(n \times n\) матрица, где је \(n\) непаран број. Израчунати \(A^n.\)

3

  1. Израчунати инверз матрице \(A \begin{pmatrix} 3 & -6 & 2\\ 5 & 3 & \alpha \\ 0 & -4 & 1\end{pmatrix}\) за све вредности реалног параметра \(\alpha\) за које тај инверз постоји.
  2. Показати да постоји тачно једно \(\alpha\) за које је ранг матрице \(A\) једнак \(2.\) За ту вредност \(\alpha\) наћи баар један пар инвертибилних матрица \(P\) и \(Q\) такав да је \(PAQ = A^0.\)

4

Израчунати вредност детерминанте\[\begin{vmatrix}1 & 4 & 7 & 10 & \cdots & 3n-5 & 3n-2\\2 & 1 & 2& 2 & \cdots & 2 & 2\\3 & 3 & 1 & 3 & \cdots & 3 & 3 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\n-1 & n-1 & n-1 & n-1 & \cdots & 1 & n-1\\n & n & n& n& \cdots & n & 1\end{vmatrix}\]

5

Испитати да ли је \((V, \oplus, \bullet)\) векторски простор над пољем \(\mathbb R\) ако је \(V = \{p \in \mathbb R^3[x] | p(0) > 0\},\) а операције су задате са \[(p \oplus q)(x) = p(x)+q(x)+(p(0)-1)(q(0)-1)-1\] и \[(\alpha \bullet p)(x) = \alpha p(x)+p(0)^\alpha - \alpha p(0).\]

6

За сваки од наредних подскупова \(M_2(\mathbb R)\) испитати да ли је векторски потпростор векторског простора \(M_2(\mathbb R)\) и уколико јесте одредити његову базу и димензију:
  1. \(\left\{\begin{pmatrix} x & y\\z & t \end{pmatrix} \mid x+2y = 3z+4t =0 \right\}, \quad \{X \in M_2(\mathbb R) | X^2 = 0\},\)
  2. \(\{X \in M_2(\mathbb R) | XA = (\text{tr } X)A\},\) где је \(A \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4 \end{pmatrix}.\)