МАТФ РОКОВИ
Сви рокови •  Линеарна алгебра:
24.06.2021.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Време израде: 180 минута.

други ток

1

Нека су \(U = \mathcal L ((1,3,-4,2), (2,1,-1,1), (5,0,1,1))\) и \(W\) скуп решења система\[\begin{array}{rcrcrcrcr} x &+ & y & - & 8z & + & 3t & = & 0\\ -x &+ & y & + & 4z & + & t & = & 0\\-3x &- & y & + & 20z & - & 5t & = & 0\\ x &+ & 3y & - & 12z & + & 7t & = & 0\end{array}\]Одредити базу и димензију за \(U, W, U+W\) и \(U \cap W.\)

2

Нека је \(L: M_2(\mathbb R) \rightarrow M_2(\mathbb R)\) пресликавање дато са \(L(X) = \frac 1 2 (X + X^T).\)
  1. Доказати да је \(L\) линеарни оператор.
  2. Одредити базу и димензију за језгро и слику оператора \(L.\)
  3. Наћи матрицу оператора \(L\) у канонској бази, као и у бази \[f = \left[ \begin{bmatrix}-2 & 1\\0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 & -3\\ 1 & 0\end{bmatrix}\right]\]

3

Дата је матрица \(A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3\\0 & 2 & -3\\ 1 & 1 & -1\end{bmatrix}.\)
  1. Одредити карактеристични и минимални полином матрице.
  2. Наћи инвертибилну матрицу \(P\) и дијагоналну \(D\) т.д. \(P^{-1}AP = D.\)
  3. Наћи \(A^n,\) за \(n \in \mathbb N.\)

4

Нека је пресликавање \(\circ: \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R\) дефинисано са \[(a,b,c) \circ (x,y,z) = 2ax + 2by + 2cz - ay - bx - bz - cy.\]
  1. Доказати да је \(\circ\) скаларни производ.
  2. Одредити бар једну ортонормирану базу простора \(\mathbb R^3\) у односу на овај скаларни производ.
  3. Ако је \(U\) скуп свих решења једначине \(x - 2y + 3z = 0,\) одредити ортогоналну пројекцију вектора \(v = (0,1,4)\) на \(U,\) а затим и растојање од \(v\) до \(U.\)