Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.

Нека је \(\Omega = \{(x,y) \in \mathbb R^2 : x \gt 0, y \gt 0\}\) и нека су \(f,g\colon [0, +\infty) \rightarrow \mathbb R \) ограничене непрекидне функције такве да је \(f(0) = g(0).\) Доказати да ако постоји функција \(u\colon \overline \Omega \rightarrow \mathbb R\) са следећим својствима:

1. \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline \Omega),\)
2. \(\Delta u = 0\) на \(\Omega,\)
3. \(u(x,0) = f(x),\) за свако \(x \in [0, +\infty),\)
4. \(u(0,y) = g(y),\) за свако \(y \in [0, +\infty),\)
5. \(u\) је ограничена \(\Omega\),

онда је та функција јединствена.

Нека је \(\Omega = \{(x,y) \in \mathbb R^2 : x \gt 0, y \gt 0\}.\) Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\Omega, \mathbb R) \cap C(\overline \Omega, \mathbb R)\) и доказати да је јединствено):

1. \(\Delta u = 0,\) за \((x,y) \in \Omega;\)
2. \(u(x,0) = \frac{4(1-x^4)x^2}{(x^4+1)^2},\) за \( x \geq 0;\)
3. \(u(x,0) = -\frac{4(1-y^4)y^2}{(y^4+1)^2},\) за \(y \geq 0;\)
4. \(u\) је ограничена на \(\overline \Omega.\)

Да ли је решење проблема јединствено ако се изостави услов 4.? Детаљно образложити одговор.

Нека је \(D = \{(x,t) \in \mathbb R^2 : 0 \lt x \lt \pi, t \gt 0\}.\) Решити проблем (одредити решење класе \(C^2(\overline D, \mathbb R)\) и доказати да је јединстевно):

Одредити тип, свести на канонски облик и одредити опште решење парцијалне једначине\[u_{xx} - 2u_{xy} + u_{yy} + 9u_x - 9u_y - 36 =0,\]при чему \((x,y) \in \mathbb R^2.\)