Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н.
Време израде: 180 минута.
1
Нека је \(\Omega = \{(x,y) \in \mathbb R^2 : x \gt 0, y \gt 0\}\) и нека су \(f,g\colon [0, +\infty) \rightarrow \mathbb R \) ограничене непрекидне функције такве да је \(f(0) = g(0).\) Доказати да ако постоји функција \(u\colon \overline \Omega \rightarrow \mathbb R\) са следећим својствима:
- \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline \Omega),\)
- \(\Delta u = 0\) на \(\Omega,\)
- \(u(x,0) = f(x),\) за свако \(x \in [0, +\infty),\)
- \(u(0,y) = g(y),\) за свако \(y \in [0, +\infty),\)
- \(u\) је ограничена \(\Omega\),
онда је та функција јединствена.
2
Нека је \(\Omega = \{(x,y) \in \mathbb R^2 : x \gt 0, y \gt 0\}.\) Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\Omega, \mathbb R) \cap C(\overline \Omega, \mathbb R)\) и доказати да је јединствено):
- \(\Delta u = 0,\) за \((x,y) \in \Omega;\)
- \(u(x,0) = \frac{4(1-x^4)x^2}{(x^4+1)^2},\) за \( x \geq 0;\)
- \(u(x,0) = -\frac{4(1-y^4)y^2}{(y^4+1)^2},\) за \(y \geq 0;\)
- \(u\) је ограничена на \(\overline \Omega.\)
Да ли је решење проблема јединствено ако се изостави услов 4.? Детаљно образложити одговор.
3
Нека је \(D = \{(x,t) \in \mathbb R^2 : 0 \lt x \lt \pi, t \gt 0\}.\) Решити проблем (одредити решење класе \(C^2(\overline D, \mathbb R)\) и доказати да је јединстевно):
\[\begin{aligned} &u_tt = u_{xx} + t^2\sin^3x + \frac {2x}{\pi}, \qquad &(x,t) \in \overline D\\ &u(x,0) = 0, \quad u_t(x,0) = 1-\frac{x}{\pi} & 0 \leq x \leq \pi,\\ &u(0,t) = t, \quad u(\pi, t) = t^2, &t \geq 0. \end{aligned}\]4
Одредити тип, свести на канонски облик и одредити опште решење парцијалне једначине\[u_{xx} - 2u_{xy} + u_{yy} + 9u_x - 9u_y - 36 =0,\]при чему \((x,y) \in \mathbb R^2.\)