Писмени испит из предмета Комплексна анализа Б За смер М.

У зависности од реалног параметра \(\alpha\in(0,1)\) израчунати вредност интеграла \[I=\int\limits^\infty_0\frac{x^\alpha\ln x}{1-x^2}\mathrm dx.\]

Одредити све нуле полинома \(q(z)=2z^4-3z^2+z^2-z+1,\) а затим одредити колико нула у сваком квадранту има полином \(p(z)=2z^4-3z^3+3z^2-z+1.\)

Нека је \(f\) холоморфна функција из \(\mathbb H = \{z\in\mathbb C : \operatorname{Im} z \gt 0\}\) у \(\Omega = \{z\in\mathbb C : \lvert z\rvert \gt 1, \operatorname{Im} z \gt 0\}\) тако да је \(f(i)=2i\). Одредити највећу могућу вредност коју може имати \(\lvert f'(i)\rvert\) и одредити за које \(f\) се та вредност достиже.

Да ли постоје неконстантне целе функције \(f\) и \(g\) такве да је \(e^{f(z)}+e^{g(z)}=1,\) за све \(z\in\mathbb C\)? Ако постоје, наћи бар један пар таквих функција.

Испитати да ли је тачан следећи развој: \[\th z = 2z \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left((2n-1)\tfrac{\pi}{2}\right)^2+z^1}.\]