МАТФ РОКОВИ
26.01.2011.

Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Јануарски рок

1

У троуглу \(ABC\) тачке \(S\) и \(S_a\) су центри редом уписаног и споља уписаног круга који одговара темену \(A\), \(E\) је пресечна тачка симетрале унутрашњег угла код темена \(A\) и странице \(BC\) и \(N\) је средиште лука \(BC\) круга описаног око троутла \(ABC\) који не садржи тачку \(A\). Доказати да важи \(AS\cdot AS_a=AE\cdot AN.\) (5 поена)

2

У еуклидској равни конструисати троугао \(ABC\) коме су разлика полупречника споља уписаног круга који одговара темену \(A\) и полупречника уписаног круга, страница \(AC\) и полупречник описаног круга подударни редом датим дужима \(d,b\) и \(r\). (5 поена)

3

Дата су три круга \(k_1,k_2,k_3\) који имају тачно две заједничке тачке \(A\) и \(B.\) Доказати да сваки круг \(k\) који је ортогоналан на \(k_1\) и \(k_2\) мора бити ортогоналан и на \(k_3.\) (5 поена)

4

Доказати да композиција \(S_a\circ S_b \circ S_c\) три осне рефлексије простора \(\mathbb E^3\), чије осе \(a,b,c\) представљају праве одређене страницама неког троугла, представља завојни полуобртај. (5 поена)

5

У тетраедру \(ABCD\) важи \(AB\bot CD\) и \(AC\bot BD\). Доказати да средишта свих шест ивица тетраедра припадају једној сфери и наћи њен центар. (5 поена)

6

Нека су \(A,A_1\) и \(B,B_1\) редом тачке хиперпаралелних правих \(a\) и \(b\), такве да је \(AB\) њихова заједничка нормала. Доказати да је \(AB\lt A_1B_1.\) (5 поена)