Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смер М.

Нека је \[X = \{x \colon \mathbb N \rightarrow \mathbb C \mid \left(\exists M > 0\right)\left(\forall n \in \mathbb N\right) \sum_{k=1}^n \lvert x_k\rvert \leq M(2n+1)!!\}.\] Доказати да је \(X\) векторски простор над \(\mathbb C\) и да је пресликавање \(\lVert \cdot \rVert\colon X \rightarrow [0, +\infty)\) дефинисано са \[\lVert x \rVert = \sup\limits_{n \in \mathbb N}\frac 1{(2n+1)!!} \sum\limits_{k=1}^n \lvert x_k\rvert\] једна норма на \(X\) која га чини Банаховим простором. Доказати да је оператор \(A\colon l^\infty \rightarrow X\) дефинисан са \(Ax=y,\) где је \(y_n = n^2x_n\) за свако \(n \in \mathbb N,\) линеаран и ограничен, а затим и одредити \(\lVert A \rVert.\)

1. Доказати да је са \(\phi_g\left(f\right) =\int_X fg\,\mathrm dm,\) где је \(g \in L^\infty(X, \mathfrak M, \mu),\) дефинисан један ограничен линеаран функционал на \(L^1(X, \mathfrak M, \mu)\) и одредити његову норму.
2. Нека је \(\alpha \in \mathbb C\) и \(A_n\colon L^1(0,2) \rightarrow \mathbb C\) низ пресликавања дефинисан са \(A_n f = \alpha ^n \int_0^2 x^nf\left(x\right)\mathrm dm(x).\) Доказати да су \(A_n\) непрекидни линеарни функционали, израчунати \(\lVert A_n \rVert\) и у зависности од \(\alpha \in \mathbb C\) испитати јаку конвергенцију низа \(A_n.\)

Израчунати \[\min_{a,b,c \in \mathbb C} \int\limits_0^1 \frac{|ax^3+x^2+bx+c|^2}{\sqrt{ 1-x^2}}\,\mathrm dx.\]

Нека је \(T\colon l^2 \rightarrow l^2\) дефинисан са \[T\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{n-1}, x_n, \ldots\right) = \left(0, x_1, \frac {x_2} {2}, \frac {x_3} {3}, \ldots, \frac {x_n} {n}, \frac {x_{n+1}} {n+1}, \ldots\right ).\]

1. Доказати да је \(T\) добро дефинисан ограничен линеаран оператор на \(l^2\) и одредити \(\lVert T\rVert;\)
2. Одредити \(T^*\) и испитати нормалност оператора \(T;\)
3. Доказати да се \(T^*T\) може добити као униформни лимес коначно-димензионалних ограничених линеарних оператора на \(l^2,\) па затим одредити \(\sigma(T^*T)\) и написати његов спектрални развој. Да ли је систем његових сопствених вектора потпун у \(l^2?\)
4. Одредити бар један самоадјунгован ограничен оператор \(A\) на \(l^2\) такав да је \(A^2 = T^*T.\) Да ли је \(A\) компактан?
5. Испитати да ли постоји ограничен оператор \(V\) на \(l^2\) такав да је \(T = VA.\)
6. Доказати да је \(T\) компактан оператор, одредити \(\sigma(T)\) и испитати инјективност и сурјективност оператора \(T\) и \(T^*.\)