Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине А За смер В.

Две шоље топлог чаја познатних почетних температура \(T_1(0)=T_2(0)=T_0\) су остављене да се хладе на собној температури \(T_{\infty}\) (таквој да је \(T_\infty\lt T_0\)). Прва шоља се остави недирнута и промена њене температуре \(T_1(t)\) у времену се може моделирати Њутновим законом хлађења \[\frac{\mathrm d T_1}{\mathrm d t}=-a\left(T_1(t)-T_\infty\right),\] где је \(a\gt 0\) дата константа која зависи од структуре шоље и геометријске поставке. У другу шољу се од тренутка \(t=\frac{1}{a}\) почне сипати вода константном брзином која је све топлија и топлија (линеарно са временом) и промена њене температуре \(T_2(t)\) у времену (за \(t\ne\frac{1}{a}\)) се може моделитари као \[\frac{\mathrm d T_2}{\mathrm d t}=-a\left(T_2(t)-T_\infty\right)+tH\left(t-\frac{1}{a}\right),\] где је са \(H\) означена Хевисајдова функција \[H(x)=\begin{cases}1, &x\ge 0; \\ 0, &x\lt 0.\end{cases}\]

1. Одредити температуре чаја у обе шоље, \(T_1(t)\) и \(T_2(T)\) за време \(t\ge 0,\) претпостављајући да је температура непрекидна функција од времена. Претпоставити да су константе \(T_0,\) \(T_\infty\) и \(a\) познате.
2. Описати шта се дешава са овим температурама када \(t\rightarrow\infty.\)

Решити диференцијалну једначину \[yy''=y'^2+\frac{xy^3}{2y'}+\frac{y'y}{2x}+\frac{y^3}{2xy'}.\]

Нека су \(a(t)\) и \(b(t)\) непрекидне функције на \(\mathbb R\) и нека је дата диференцијална једначина \[x''\left(t\right)+a\left(t\right)x'\left(t\right)+b\left(t\right)x\left(t\right)=0.\] Нека су \(x_1\left(t\right)\) и \(x_2\left(t\right)\) два решења једначине која задовољавају почетне услове \(x_1\left(0\right)=0,\) \(x_1'\left(0\right)=1,\) \(x_2\left(0\right)=0\) и \(x_2'\left(0\right)=7.\)

1. Доказати да су функције \(x_1\) и \(x_2\) пропорционалне односно да постоји \(c\in\mathbb R\) такво да је \(x_1\left(t\right) = c\cdot x_2\left(t\right)x_2\left(t\right).\)
2. Ако је \(a\left(t\right)=-t\) и \(b\left(t\right)=-2\) одредити \(x_1.\)