17.06.2021.

Писмени испит из предмета Комплексна анализа Б За смер М.

1

У зависности од параметра \(a \in \mathbb R\setminus \{0\}\) израчунати интеграл \[I = \int\limits_0^{+\infty}\frac{\ln x}{(x^2+a^2)^2\sqrt x}\,\mathrm dx.\]

Нека су \(m,\) \(n \in \mathbb N\) произвољни. Доказати да полином \(p(z) = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \cdots + \frac{z^m}{m!} + 3z^n\) има тачно \(n\) нула у јединичном диску \(\mathbb D\) са центром у \(0.\)

3

Нека је \(f(z) = 1 + \sum_{n=1}^\infty c_nz^n\) и \(\text{Re } f(z) > 0\) за све \(z \in \mathbb D = \{z \in \mathbb C : |z| \lt 1\}.\) Доказати:

\(\frac{1-|z|}{1+|z|} \leq |f(z)| \leq \frac{1+|z|}{1-|z|},\) за све \(z \in \mathbb D.\)
За \(0 \lt r \lt 1\) је \(|c_n| \leq \frac{1+r}{n!r^n(1-r)}.\)
Одредити за које \(r\) се достиже минимум израза \(\frac{1+r}{n!r^n(1-r)}\) и наћи \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n.\)

4

Нека је \(f\) цела функција таква да је \(f(z) \neq 0,\) за све \(z \in \mathbb C.\) Доказати да је \(f(z) = ce^z\) за неко \(c \in \mathbb C\) или функција \(f(z) + e^z\) има бесконачно много нула у \(\mathbb C.\)

5

Одредити конформно пресликавање области \(\Omega = \mathbb C \setminus ([-3i, 3i] \cup [-4, +\infty])\) на горњу полураван \(H = \{z \in \mathbb C : \text{Im } z \gt 0\}.\)