МАТФ РОКОВИ
16.06.2021.

Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине Б За смерове М, Н.

Време израде: 180 минута.

1

25 поена
  1. [15] Нека је \(\varphi \in \mathcal D(\mathbb R)\) и \[ \langle T, \varphi \rangle \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} \left(\int_\varepsilon^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x^2}\,\mathrm dx - \frac{\varphi(0)}\varepsilon + \varphi' (0) \ln \varepsilon \right).\]Доказати да \(T \in \mathcal D'(\mathbb R).\)
  2. [10] Нека је \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) дефинисана са \[f(x) = \begin{cases}\ln x, &x\gt 0,\\0, &x\leq 0.\end{cases}\]Доказати да функција \(f\) индукује дистрибуцију \(\Lambda_f\) и одредити \(\Lambda_f''.\)

2

25 поена

Нека су за \(\varphi \in \mathcal D(\mathbb R)\) и \(n \in \mathbb N\) функције \(\varphi_n,\) \(\psi_n\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) дефинисане са \[\varphi_n(x

  1. [12] Доказати да у простору \(\mathcal D(\mathbb R)\) важи \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_n = \varphi\) и \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \psi_n = \varphi';\)
  2. [13] Доказати да ако је \(f \in \mathcal D'(\mathbb R)\) таква да је \(\langle f, \varphi_n\rangle = \langle f, \varphi \rangle \) за свако \(\varphi \in \mathcal D(\mathbb R)\) и свако \(n \in \mathbb N\) онда је \(f\) индукована константном функцијом.

3

25 поена

У простору \(\mathcal D(\mathbb R)\) решити систем диференцијалних једначина \((y=y(x)\) и \(z=z(x)\) су непознате дистрибуције):\[ \begin{aligned} xy''+2z &= \delta,\\y'+xz'-(xz)' &=0.\end{aligned}\]

4

25 поена

Нека је \(a \in \mathbb R, f(x) = \cos ax\) и \(g(x) = \sin ax.\)

  1. [5] Доказати да \(f,\) \(g \in S'(\mathbb R);\)
  2. [20] Одредити Фуријеову трансформацију дистрибуција \(f\) и \(g.\)