Писмени испит из предмета Диференцијалне једначине Б За смерове Л, М, Н, В.

1. Одредити сва решења следећих једначина у скупу реалних квадратних матрица:\[(1): A^2e^2 = \begin {bmatrix} 1 &2\\3 &4 \end{bmatrix}, \qquad (2): e^A = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 &1\end {bmatrix}\]
2. Решити Кошијев проблем \(Y' = e^{-A}Y, Y(0) = \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}, \) где је матрица \(A\) решење једначине из дела \((2), \) уколико таква матрица постоји.

Дат је динамички систем\[\begin{aligned}&x_1' = x_1 -x_2 -x_1^2+x_1x_2\\&x_2' = -x_1^2-x_2. \end{aligned}\]

1. Одредити све еквилибријуме датог система.
2. Скицирати фазне портрете линеализације датог система у тачкама свих еквилибријума.
3. На приложеној слици је приказан фазни портрет почетног система. На њој јасно обележити сваки од еквилибријума из дела под (а). Сви еквилибријуми се налазе на делу фазног портрета који је приказан. Одговор образложити.

Наћи опште решење парцијалне диференцијалне једначине:\[(y(x+y)^3+z))z'_x+(x(x+y)^3-z)z'_y=z(x+y).\]