Писмени испит из предмета Анализа 2 За смерове Л, Р.

Нека је \(H\) скуп свих реалних низова \((a_n)_{n \in \mathbb N}\) таквих да \(|a_n| \leq 1\) за свако \(n \in \mathbb N.\)

1. Доказати да је пресликавање \(d_H\colon H \times H \rightarrow \mathbb R\) дато са \[{d_H((a_n), (b_n)) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{|a_n-b_n|}{2^n}}\] метрика на \(H.\)
2. Нека је \((M,d)\) метрички простор такав да је \(d(x,y) \leq 1\) за свако \(x,y \in M\) и \(\{x_n \mid n \in \mathbb N\}\) један густ подскуп простора \((M,d).\) Нека је \(f: M \rightarrow H\) пресликавање дато са \(f(x) = (d(x,x_n))_{n \in \mathbb N}.\) Доказати да је пресликавање \(f\) \(1- 1\) и непрекидно.

Дато је пресликавање \(f \in C^2(\mathbb R^n; \mathbb R).\) За стационарну тачку \(x \in \mathbb R^n\) функције \(f\) кажемо да је недегенерисана ако је матрица других парцијалних извода \([f_{i,j}^{''}]_{i,j=1}^n\) инвертибилна. Доказати да је свака недегенерисана стационарна тачка функције \(f\) изолована у \(\mathbb R^n.\)

Нека је \(P\) раван одређена једначином \(x + y + z = 0\) и \(a_k = (\cos(2k \pi /2021), \sin(2k \pi /2021)) \in \mathbb R \) за свако \(k \in \{1, 2, \ldots 2021\}.\)Нека је \(f: \mathbb R^2 \rightarrow P\) изометрија таква да \(f(a_{2021}) = (0,0,0)\) и \(f(a_1) = \left( \sqrt{\frac 2 3}\sin \frac{\pi}{2021}, \sqrt \frac 2 3 \sin \frac \pi {2021}, -2 \sqrt \frac 2 3 \sin \frac \pi {2021} \right).\)Нека је \(M = f(a_1),\) \(N = f(a_{2021})\) и \(C = f(\bigcup_{k=1}^{2020} [a_k, a_k+1])\) крива оријентисана тако да јој је \(M\) почетна, а \(N\) крајња тачка (са \([a_k, a_{k+1}]\) за \(k \in \{1, 2, \ldots 2021\}\) означене су одговарајуће дужи у \(\mathbb R^2\)). Израчунати интеграл \[\int\limits_C \left(z^2+2xy+z\right)\mathrm dx+\left(x^2-2yz+x\right)\mathrm dy+\left(2xz-y^2+y\right)\mathrm dz.\]

Дата је \(2\pi\)-периодична функција \(f(x) = (x-\pi)x(x+\pi)\) на \([-\pi, \pi].\)

1. Развити функцију \(f\) у Фуријеов ред.
2. Испитати равномерну конвергенцију Фуријеовог реда функције \(f\) на \(\mathbb R.\)
3. Израчунати суме \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3},\) \(\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^6}\) и \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}.\)