Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека су \(A,\) \(B,\) \(C\) и \(D,\) \(E,\) \(F\) две тројке колинеарних тачака таквих да је \(B\) средиште \(AC\) и \(E\) средиште \(DF.\) Ако су \(P,\) \(Q,\) \(R\) редом средишта дужи \(AD,\) \(BE,\) \(CF,\) доказати да су \(P,\) \(Q,\) \(R\) колинеране и да је \(Q\) средиште дужи \(PR.\)

1. [10] Одредити једначину равни \(\gamma\) која полови угао између равни \(\alpha\colon 2x-2y+z-3=0\) и \(\beta\colon 8x+y-4z-1=0\) и садржи тачку \(C(-4,1,1).\)
2. [10] Одредити једначину нормалне пројекције праве \(p\colon \frac{x-1}{1} = \frac y {-1} = \frac {z-2} 0\) на равни \(\pi\colon x-2y+2z-5=0\) и израчунати угао између праве \(p\) и равни \(\pi.\)

Одредити једначину криве другог реда чије су осе праве \(p\colon 2x+y = 0 \) и \(q\colon -x+2y=0,\) једна од жижа је тачка \(F(-1,2)\) и садржи тачку \(B(2,1).\)

Одредити формуле бар једног афиног пресликавања које квадрат \(ABCD\) с теменима \(A(0,0),\) \(B(3,4),\) \(C(-1,7),\) \(D(-4,3)\) слика на паралелограм \(A'B'C'D'\) с теменима \(A'(0,0),\) \(B'(7,-2),\) \(C'(6,-13)\) и \(D'(-1,-11).\) Израчунати површину паралелограма користећи податак да је површина квадрата \(ABCD\) једнака \(25.\)

На сфери полупречника \(1\) израчунати површину сферног троугла чије су странице \(a = b = c = \frac \pi 4.\)