МАТФ РОКОВИ
14.06.2021.

Писмени испит из предмета Анализа 2 За смерове Л, Р.

Анализа 2Б

1

Нека је \(P\) раван одређена једначином \(x + y + z = 0\) и \(a_k = (\cos(2k \pi /2021), \sin(2k \pi /2021)) \in \mathbb R \)за свако \(k \in \{1, 2, \ldots 2021\}.\)Нека је \(f: \mathbb R^2 \rightarrow P\) изометрија таква да \(f(a_{2021}) = (0,0,0)\) и \(f(a_1) = \left( \sqrt{\frac 2 3}\sin \frac{\pi}{2021}, \sqrt \frac 2 3 \sin \frac \pi {2021}, -2 \sqrt \frac 2 3 \sin \frac \pi {2021} \right).\)Нека је \(M = f(a_1),\) \(N = f(a_{2021})\) и \(C = f(\bigcup_{k=1}^{2020} [a_k, a_k+1])\) крива оријентисана тако да јој је \(M\) почетна, а \(N\) крајња тачка (са \([a_k, a_{k+1}]\) за \(k \in \{1, 2, \ldots 2021\}\) означене су одговарајуће дужи у \(\mathbb R^2\)). Израчунати интеграл \[\int\limits_C \left(z^2+2xy+z\right)\mathrm dx+\left(x^2-2yz+x\right)\mathrm dy+\left(2xz-y^2+y\right)\mathrm dz.\]

2

Израчунати интеграл \[\int\limits_S {y^2z\,\mathrm dy\,\mathrm dz + (2y-e^z)\,\mathrm dz\,\mathrm dx + \sin x \,\mathrm dx \,\mathrm dy},\] где је \(S\) спољна страна тела ограниченог цилиндром \(x^2+y^2 = 4\) и равнима \(z = 1\) и \(z = 8-y.\)

3

Нека је \((f_n)_{n \in \mathbb N}\) низ функција датих за \(f_n(x) = n^2 x^n(1-x), x \in [0,1], n \in \mathbb N.\)

  1. Доказати да низ \(f_n\) конвергира тачка по тачка на \([0,1]\) када \(n \rightarrow \infty.\)
  2. Да ли низ \(f_n\) конвергира равномерно на \([0,1]\) када \(n \rightarrow \infty?\)
  3. Да ли важи \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm dx = \int_0^1 \lim\limits_{n\rightarrow \infty}f_n(x)\,\mathrm dx?\)

4

Дата је \(2\pi\)-периодична функција \(f(x) = (x-\pi)x(x+\pi)\) на \([-\pi, \pi].\)

  1. Развити функцију \(f\) у Фуријеов ред.
  2. Испитати равномерну конвергенцију Фуријеовог реда функције \(f\) на \(\mathbb R.\)
  3. Израчунати суме \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3},\) \(\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^6}\) и \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}.\)