МАТФ РОКОВИ
12.06.2021.

Писмени испит из предмета Увод у финансијску математику

У току рачуна заокруживати на \(4\) децимале

1

У банку која користи променљиву каматну стопу \(r(t),\) чија је крива добити \(\widetilde r(t),\) уложено је \(5000\) РСД на период од \(3\) године. Након прве, друге и треће године штедње, укупан новац износи \(5090\) РСД, \(5340\) РСД и \(5810\) РСД, тим редом. Ако је познато да укупан новац у тренутку \(t\) износи \(A(t) = at^3 + bt^2 + ct + d,\) за фиксне \(a,\) \(b,\) \(c,\) \(d \in \mathbb R\) и за све \(t \in [0,3],\) одредити \(r(t)\) и \(\widetilde r(t)\) и њихове вредности у тренутку \(t = \frac 5 2.\)

2

За обвезницу од \(30000\) РСД и роком доспећа \(4\) године, потребно је исплатити годишње купоне од по \(2500\) РСД на крају сваке од те \(4\) године до доспећа. Одредити дурацију те обвезнице ако је добит до доспећа \(15\%\) са полугодишњим обрачуном.

3

У временском тренутку \(t_j = j^2\) \((1 \leq j \leq n, n \in \mathbb N)\) извршена је уплата \(A_j\) којој одговара каматна стопа \(\lambda\) са \(k\) обрачуна годишње. Доказати да је дурација \(\widetilde d\) овог тока новца опадајућа функција по променљивој \(\lambda.\)

4

Случајна величина \(X\) има густину расподеле \(f(X) = a ^{-|x-b|}, x \in \mathbb R, \) где су \(a,\) \(b \in \mathbb R\) и важи \(E(X) = 3.\) Наћи константе \(a,\) \(b,\) дисперзију \(D(X)\) и вероватноћу \(P \{X \geq b \} .\)