Писмени испит из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Конструисати троугао \(ABC\) ако дате тачке \(A,\) \(T\) и \(O\) представљају теме, тежиште и центар описаног круга тог троугла.

Нека су \(M,\) \(N\) и \(P\) додирне тачке уписаног круга \(k\) троугла \(ABC\) са страницама \(BC,\) \(CA\) и \(AB\) редом.

1. Доказати да се инверзијом у односу на круг \(k\) описани круг око троугла \(ABC\) пресликава у Ојлеров круг троугла \(MNP.\)
2. Даказати да су ортоцентар троугла \(MNP,\) центар уписаног и центар описаног троугла \(ABC\) колинеарне тачке.

Нека је \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) коцка еуклидског простора. Одредити тип и компоненте изометрије која представља композицију завојних полуобртаја \(\mathcal Z_{\overrightarrow{CC_1}}\circ \mathcal Z_{\overrightarrow{B_1A_1}}.\)

У хиперболичкој равни дат је конвексан четвороугао \(ABCD\) такав да је \(AB=CD\) и \(BC=AD\) Доказати да су наспрамне странице тог четворoугла хиперпаралелне.