Писмени испит из предмета Алгебра 3 За смер М.

1. [8] Представити симетрични полином \[f(X,Y,Z) = YX^3 + ZX^3 + XY^3 + XZ^3 + YZ^3\]преко елементарних симетричних полинома.
2. [7] Доказати да полином \(g(X) = X^5 + 2X^4 - 16X^3 + 6x-10 \in \mathbb Q[X]\) нема нула ни у једном раширњу поља \(\mathbb Q\) степена \(24.\)

Показати да је број \(\frac{1}{8}\left(1 + \sqrt 5 + \sqrt{30-6\sqrt 5}\right ) \) конструктибилан.

Нека је \(D\) домен са јединственом факторизацијом и \(K\) поље разломака за \(D.\) Доказати да \(K\) не може бити алгебарски затворено поље.

Нека је \(K\) коренско поље полинома \(f(X) = X^6-4X^3 + 1\) над пољем рационалних бројева \(\mathbb Q.\) Доказати да је \(G(K/\mathbb Q) \cong \mathbb D_6.\)

1. [6] Нека је \(p\) непаран прост број и \(\zeta\) примитивни \(p\)-ти корен из јединице. Означимо \(K = \mathbb Q[\zeta].\) Израчунати \(\text{Tr}_{K/\mathbb Q} (\zeta + \zeta ^2 )\) и \(\text{N}_{K/\mathbb Q}(5 \zeta).\)
2. [7] Показати да постоје рационални бројеви \(a_i, 0 \leq i \leq p-2\) и примитивни корен \(s\) модуло \(p\) такви да је \[ \zeta = \frac{\sum_{i=0}^{p-2} a_i \zeta^i}{\sum_{i=0}^{p-2}a_i \zeta^{is}}.\]

Испитати решивост једначине \[x^5 -x -1 = 0\] радикалима над пољем рационалних бројева \(\mathbb Q.\)