МАТФ РОКОВИ
07.06.2021.

Писмени испит из предмета Линеарна алгебра За смерове Л, М, Н, Р, В.

Време израде: 180 минута.

1

Формулисати и доказати Силвестеров закон инерције за реалне симетричне билинеарне форме.

2

  1. Ако је \(A = \begin{pmatrix}0& 1\\1& 1\end{pmatrix}\) показати да је пресликавање \[L\colon\mathbb R^3[x] \rightarrow M_2(\mathbb R) \qquad Lp = p(A)\] линеарно.
  2. Одредити језгро, слику, ранг и дефект пресликавања \(L.\)
  3. Одредити матрицу овог пресликавања у односу на пар база \[\{1-x, x-x^2, x^2-1\} \quad \text { и } \quad \left\{\begin{pmatrix} 1 &1\\0 &0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2 &3\\0& 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &1\\1 &1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 &-1\\ 1 &-1\end{pmatrix}\right\}.\]

3

  1. Одредити скуп \(U\) свих решења диференцне једначине \[a_{n+3} - 7a_{n+2} + 15a_{n+1} - 9a_n = 0.\]
  2. Ако је \(V\) скуп свих аритметичкин низова из \(\mathbb R^ \mathbb N\) одредити по једну базу векторских простора \(U + V\) и \(U \cap V.\) Да ли је претходна сума директна.

4

  1. Одредити Жорданову нормалну форму матрице \[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & -2 & 4 & 0\\ 0 & 4 & 0 & 2 & 2\end{pmatrix}.\]
  2. Одредити све уопштене сопствене потпросторе матрице \(A.\)
  3. Одредити минимални полином матрице \(A.\)
  4. Одредити базу и димензију векторског простора \(\mathscr{L}(E, A, A^2, A^3, \ldots)\)

5

Дат је линарни оператор \[L\colon \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3, \qquad L(a,b,c) = (a+c, -a+2b+c, 3a-2b+c)\] Одредити језгро и слику транспонованог оператора \(L^T.\)

6

  1. Показати да је пресликавање \[\langle \cdot, \cdot \rangle: \mathbb C^3[x] \times \mathbb C^3 [x] \rightarrow \mathbb C\]\[\langle a +bx + cx^2, e + fx + gx^2 \rangle = a\overline e + b \overline f + 3 c \overline g + i a \overline g - i c \overline e + ib \overline g - ic \overline f.\]ермитски производ на \(\mathbb C^3[x].\)
  2. Одредити једну ортонормирану базу \(\mathbb C^3[x]\) у односу на овај ермитски производ.
  3. Одредити растојање између полинома \(1+2x+3x^2\) и \(3 +2x+x^2.\)