Колоквијум из предмета Анализа 2 За смерове Л, Р.

Нека је \(M = \{a: \mathbb N \rightarrow \{0, 1\}\}\) и нека је \(d\colon M \times M \rightarrow \mathbb R\) задато са \[d(a,b) = \begin{cases} &0, &a=b\\ &\frac{1}{\min\{k \in \mathbb N | a(k) \neq b(k)\}}, &a \neq b\end{cases}\]

1. Доказати да је \((M,d)\) метрички простор.
2. Испитати непрекидност функције \(f\colon (M,d) \rightarrow (\mathbb R, \lvert\cdot\rvert),\) задате са \(f(a) = 2\sum_{k=1}^\infty \frac{a(k)}{3^k}.\)
3. Да ли је \((M,d)\) повезан метрички простор?

Доказати да је системом једначина \[\begin{align*}e^t + xz = y^3 \sin(xz) \\ \arctg(x+t) = \cos (yz)\end{align*}\] имплицитно задата функција \(f(x,y) = (z,t)\) у околини тачке \((1,0).\) Испитати диференцијабилност пресликавања \(f,\) и уколико постоји одредити диференцијал пресликавања \(f\) у тачки \((1,0).\)

Материјал за доњу страну акваријума кошта два пута мање него стакло за преостале стране акваријума. Акваријум је у облику квадра и нема поклопац. Одредити димензије најјефтинијег акваријума запремине \(V.\)

Наћи запремину ограниченог тела одређеног површима \(x = y^2, y = x, z = x+2y, z = 3.\)