Писмени испит из предмета Дистрибуције и парцијалне једначине А За смерове М, Н, Р, В.

Нека је \(H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0\}.\) Решити проблем (одредити решење које припада \(C(\overline{H}, \mathbb{R}) \cap C^2(H; \mathbb{R})\) и доказати да је јединствено): \[\begin{aligned}&\Delta u(x,y) = 0, &(x,y) \in H,\\&u(x,0) = -e^{\frac{x^2-1}{x^2+1}}\sin\frac{2x}{x^2+1}, &x \in \mathbb R,\\&u \text{ је ограничена на } H.\end{aligned}\]

Испитати да ли постоји хармонијска функција \(u: \mathbb R^2 \setminus \{(0,0)\} \rightarrow \mathbb R\) таква да је \[u(x,y)= \begin{cases}1, \text{ ако је } x^2+y^2=1,\\ 2, \text{ ако је } x^2+y^2 = 2,\\ 3, \text{ ако је } x^2+y^2 =3.\end{cases}\]

Нека је \(D = \{(x,t) \in \mathbb R^2 : 0 \lt x \lt 1, t \gt 0\}.\) Решити проблем (одредити решење које припада \(C^2(\overline{D}, \mathbb R)\) и доказати да је јединствено):\[\begin{aligned}&u_{tt} = u_{xx} - \sin t +(\sin - 4 \sin 2t)x, \qquad &(x,t) \in \overline{D},\\&u(x,0) = \sin {\pi x}, \quad u_t(x,0) = 2\sin{\pi x}\cos{\pi x} + 1 + x, &0 \leq x \leq 1,\\&u(0,t) = \sin t, \qquad u(1,t) = \sin 2t, &t \geq 0.\end{aligned}\]

Одредити тип, свести на канонски облик и одредити опште решење парцијалне једначине: \[u_{xx} - (1+y^2)^2 u_{yy} - 2y(1+y^2)u_y =0.\]