Колоквијум из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

У оштроуглом троутлу \(ABC\) тачке \(B'\) и \(C'\) су подножја висина из темена \(B\) и \(C\), а тачка \(A_1\) је средиште стравице \(BC\). Дрказати да су праве \(A_1B'\) и \(A_1C'\) тангенте круга описаног око троугла \(AB'C'.\)

Конструисати \(\triangle ABC\) чији су висина и полупречник описаног круга подударни датим дужима \(h_a\) и \(r\), а разлика углова \(\angle ABC - \angle ACB\) подударна датом углу \(\varphi\).

Нека је \(CD\) тетива датог круга \(k\) која је нормална на пречиик \(AB\), а \(M\) произвољна тачка на кругу. Означимо са \(P\) и \(P'\) пресечне тачке правих \(MC\) и \(MB\) са правом \(AB\). Доказати да су \(P\) и \(P'\) инверзне тачке у односу на круг \(k\).

Нека су \(M,N,P,Q,R,S\) редом средишта страница \(AB,BC,CA,AD,BD,CD\) произвољног тетраедра \(ABCD.\) Доказати да је композиција централних симетрија \(\mathcal S_R \circ \mathcal S_S \circ \mathcal S_Q \circ \mathcal S_P \circ \mathcal S_N \circ \mathcal S_M\) транслација за вектор \(2\overrightarrow{PR}.\)

У хиперболичкој равни дате су паралелне праве \(p\) и \(q\). Одредити геометријско место тачака \(A\) за које важи \(\angle PAQ = R\) где су \(P\) и \(Q\) редом подножја нормала из \(A\) на \(p\) и \(q,\) а \(R\) прав угао.