Писмени испит из предмета Геометрија 3 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Дата је логаритамска спирала својом поларном једначином \(\rho = e^{-\theta},\) \(\theta \in \mathbb R.\)

1. Доказати да је угао између дате криве и кружнице са центром у координатном почетку, која садржи произвољну тачку са трага дате криве, константан.
2. Одредити еволуту дате криве, као и инволуту са почетком у координатном систему.
3. Доказати да је дата крива подударна редом кривама чије су поларне једначине \(\rho = e^\theta\) и \(\rho = 2e^\theta.\)

Дата је параметризована ротациона површ \(r(u,v) = (u \cos v, u \sin v, \ln u),\) \(u >0,\) \(v \in (0, 2\pi).\)

1. Доказати да се тангентна раван дате површи дуж кривине \(\alpha(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t, t),\) \(t \in \mathbb R,\) поклапа са оскулаторном равни ове криве.
2. Доказати да не постоји тачка на датој површи у којој асимптотски правци полове углове између главних праваца.
3. Ако је \(\gamma (s)\) природно параметризована геодезијска линија на тој површи и \(\varphi(s)\) угао који она заклапа са паралелом полупречника \(R(s),\) доказати да је \(R \cos \varphi = const.\)
4. Доказати да пресликавање \((u,v) \mapsto (t,s) = (\ln\left(u + \sqrt{u^2+1}), v\right)\) индукује пресликавање између дате површи и дела катеноида \(\sigma(t,s) = (\ch t \cos s, \ch t \sin s, t),\) \(t > 0,\) \(s \in (0, 2\pi),\) које чува Гаусову кривину, али није изометрија.