Писмени испит из предмета Вероватноћа и статистика А За смерове Л, М, Н.

Мерни број дужине правоугаоника бира се случајно из интервала $[0,10],$ а мерни број ширине правоугаоника бира се случајно из интервала од $0$ до половине мерног броја дужине правоугаоника. Одредити вероватноћу да површина тако одабраног правоугаоника буде мања од $4$, а обим већи од $2.$

Испитује се нежељено дејство неког лека на групи у којој је више од $30$ људи. Познато ја да испитаник има диабетес са вероватноћом $0.3,$ срчане проблеме са вероватноћом $0.2,$ а иначе је здрав. У групи нема испитаника који имају и дијабетес и срчане проблеме. Испитаник који има дијабетес је женског пола са вероватноћом $0.4,$ испитаник који има срчане проблеме је женског пола са вероватноћом $0.8,$ а испитаник који је здрав је женског пола са вероватноћом $0.1.$ Код испитаника који имају дијабетес, тегобе се јављају са вероватноћом $0.3$ у случају мушког пола и са вероватноћом $0.4$ у случају женског пола. Код испитаника који имају срчане проблеме, тегобе се јављају са вероватноћом $0.8$ у случају мушког пола и са вероватноћом $0.9$ у случају женског пола, а код здравих испитаника, тегобе се јављају са вероватноћом $0.05$ у случају мушког пола и са вероватноћом $0.1$ у случају женског пола. Одредити колико најмање испитаника има у тој групи ако је вероватноћа да је број испитаника који немају тегобе већи од броја испитаника који имају тегобе бар $0.995.$

Нека је $X$ случајна величина са густином расподеле $f(x) = \frac{x}{2 \pi^2}, 0 \leq x \leq 2\pi.$ Одредити расподелу случајне величине $Y,$ дате са: $$Y = \begin{cases} |\frac{3-X}{2}|-3, &0\leq X \lt\pi\\ -\cos X, &\pi \leq X \leq 2\pi \end{cases}.$$