Писмени испит из предмета Вероватноћа и статистика А За смер Р.

Претподставимо да се правоугаоник конструише тако што се прво бира дужина, а затим ширина. Дужина се бира случајно из интервала \([0,10].\) Након што се дужина изабере, ширина се бира случајно из интервала од \(0\) до половине дужине. Одредити вероватноћу догађаја да је површина тако одабраног правоугаоника мања од \(4,\) а обим већи од \(2.\)

Испитује се нежељено дејство одређеног лека. Познато је да \(30\%\) испитаника има дијабетес, \(20\%\) срчане проблеме, а остали су здрави. Од испитаника који имају дијабетес, \(40\%\) су жене, од испитаника са срчаним проблемима \(20\%,\) а од здравих \(60\%.\) Код дијабетичара, \(30\%\) мушкараца и \(40\%\) жена доживи тегобе, код срчаних болесника \(80\%\) мушкараца и \(90\%\) жена, док код здравих \(5\%\) мушкараца и \(10\%\) жена. Одредити колико би најмање испитаника требало одабрати тако да вероватноћа да број одабраних испитаника који немају тегобе буде већи од броја одабраних испитаника који имају тегобе са вероватноћом бар \(0.995?\) Познато је да се бира бар \(30\) испитаника.

Дата је функција \[f(x,y) = \begin{cases} C \cdot \sin(x+y), &0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac {\pi}{2}\\0, &\text{иначе}\end{cases}\]

1. Одредити константу \(C\) за коју је \(f(x,y)\) функција густине неког дводимензионог случајног вектора \((X,Y).\)
2. Одредити функцију расподеле вектора \((X,Y).\)
3. Наћи маргиналне густине и коваријансу \(\operatorname{cov}(X,Y).\)