Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смер М.

Нека је \[X=\{x\colon \mathbb N \to\mathbb C \mid (\exists M \gt 0) (\forall n \in \mathbb N) \textstyle\sum_{k=1}^n \left\lvert x_k\right\rvert \le Mn! \}.\] Доказати да је \(X\) векторски простор над \(\mathbb C\) и да је пресликавање \(\lVert \cdot\rVert\colon X\to [0,+\infty] \) дефинисано са \(\lVert x\rVert =\sup_{n\in\mathbb N}\frac{1}{n!} \sum_{k=1}^n \lvert x_k\rvert\) једна норма на \(X\) која га чини Банаховим простором. Доказати да оператор \(A\colon l^\infty \to X\) дефинисан са \(Ax=y,\) где је \(y_n = n _n\) за свако \(n\in\mathbb N,\) линеаран и ограничен, а затим одредити \(\lVert A\rVert.\)

Нека је \[H=\{x\colon\mathbb N\to\mathbb C \mid \textstyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\lvert x_n\rvert^2}{2^n}\lt +\infty\}\] Хилбертов простор са скаларним производом дефинисаним са \[\langle x, y\rangle :=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x_n\overline{y_n}}{2^n}.\] Ако је \(M=\left\{x\in H \mid \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x_n}{2^n}=0\right\},\) одредити \(M^{\bot}\) и \(M^{\bot\bot}.\) Доказати да за низ \(a\) са општим чланом \(a_n=i^n,\) за свако \(n\in\mathbb N,\) припда \(H,\) па затим израчунати \(d(a, M).\)

У зависности од \(\alpha\in\mathbb R,\) испитати када постоји \[\lim_{y\to+\infty} y^\alpha \int\limits_{-1}^1 e^{-y\lvert x\rvert} f(x)\,\mathrm dx\] за свако \(f\in C[-1,1]\) и израчунати га у потврдном случају.

Нека је \(H\) Хилбертов простор, \(A_n\) низ ограничених линеарних оператора на \(H\) и \(A\in B(H)\) такви да је за свако \(f\in H\) \(\lim_{n\to\infty} \langle A_n f, g \rangle =\langle Af, g\rangle\) равномерно по \(\lVert g\rVert =1.\) Доказати да \(A_n\) јако конвергира ка \(A.\)

Нека је \(T\colon L^2(0,1)\to L^2(0,1)\) дефинисан са \[Tf(x)=\int\limits_{x^2}^1 e^{it} f(t)\,\mathrm dt.\] Доказати да је \(T\) компактан оператор и одредити \(T^*\)