Колоквијум из предмета Геометрија 2 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Доказати да у еуклидској равни ортоцентар \(H\) троугла \(ABC\) има исту потенцију у односу на кругове којима су пречници странице тог троугла.

Конструисати \(\triangle ABC\) чији је полупречник уписаног круга подударан датој дужи \(\rho\), полупречник споља уписаног круга наспрам темена \(A\) датој дужи \(\rho_a\) а разлика ивица наспрам темена \(B\) и \(C\) датој дужи \(d\). Описати све помоћне конструкције које су потребне.

Нека су \(BALK\) и \(ACPQ\) квадрати споља конструисани над ивицама \(AB\) и \(AC\) троугла \(ABC\), и нека је \(\mathcal{J}=\mathcal{R}_{C,-90^{\circ}}\circ \mathcal{R}_{B,-90^{\circ}}\)

1. Одредити тип и компоненте изометрије \(\mathcal J.\)
2. Ако је \(X\) средиште дужи \(PK\), доказати да је троугао \(BXC\) једнакокрако-правоугли.

Ако су \(\mathcal{S}_A\) и \(\mathcal{S}_B\) две разне централне симетрије и \(\mathcal{S}_\pi\) раванска рефлексија еуклидског простора, доказати да је композиција \(\mathcal{S}_A\circ\mathcal{S}_\pi\circ\mathcal{S}_B\) нека раванска рефлексија ако и само ако је \(AB\bot\pi.\)

Нека је у Поенкареовом диск моделу дата \(h\)-тачка \(A\) различита од центра апсолуте \(O\). Конструисати \(h\)-угао мере \(\Pi(OA)\). Описати све помоћне конструкције које су потребне.