Писмени испит из предмета Вероватноћа и статистика Б За смерове Л, М, Н.

Обележје \(X\) има густину расподеле \(f(x, \theta)=\frac{\theta e^{-x}}{(1+e^{-x})^{\theta+1}},\) \(x\in\mathbb R,\) \(\theta \gt0.\) За тестирање хипотезе \(H_0(\theta =0.5)\) против алтернативе \(H_1(\theta\lt 0.5)\) предалже се тест за чију критичну област \(W\) важи да је \(W=\left\{\sum_{k=1}^{n}\ln(1+e^{-x_k})\ge C\right\}.\) Ако је праг значајности теста \(0.05,\) одредити који закључак треба донети на сонову узорка \((0.6, 0.95, -2.75, 0.16, 3.84).\)

Општи члан \(X_n\) низа независних случајних величина има густину расподеле \[f(x)=\frac{2m^m}{\Gamma (m) \theta^m} x^{2m-1}e^{-\frac{m}{\theta}x^2},\quad x\gt 0,\, m\ge 0.5,\, \theta\gt0.\] Ако је \(Y_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\) испитати четири типа конвергенције низа случајних величина \((Y_n).\)

Обележје \(X\) има нормалну \(\mathcal N (m, \sigma^2)\) расподелу. За оцену непознатог параметра \(m^2\) на основу узорка обима \(n\) предлажу се оцена добијена методом максималне веродојности \(\overline{X}_n^2-\frac{1}{n}\tilde{S}_n^2\) где је \(\tilde{S}_n = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2.\) Испитати која оцена је боља у средње квадратном смислу.