Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је \(ABC\) троугао који није једнакокрак.

1. Нека симетрала унутрашњег угла код темена \(A\) сече праву \(BC\) у тачки \(F.\) Доказати да је \(BF:FC=AB:AC\)
2. Доказати да се у троуглу \(ABC\) симетрала једног унутрашњег угла и два спољашња секу у једној тачки.

Изометријском трансформацијом свести криву другог реда \(x^2-2xy+y^2-2x-2y+1=0\) на канонски облик. Написати формуле трансформације. Одредити координате центра (ако постоји) и жижа, као и једначине оса и асимптота (ако постоје).

Наћи једначину конуса коме је врх у тачки \((0,0,0)\) и додирује сферу \[(x-5)^2+y^2+z^2=9.\] Израчунати полупречник круга по коме се конус и сфера додирују.

Израчунати растојање између тачака \(A(45^\circ\mathrm N, 20^\circ\mathrm E)\) и \(B(60^\circ\mathrm S, 15^\circ\mathrm W).\) Претпоставити да је Земља сфера полупречника \(R=6370\,\,\mathrm{km}\)