МАТФ РОКОВИ
05.07.2020.

Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

1

15 поена

Нека су \(H,\) \(T\) и \(O\) редом ортоцентар, тежиште и центар описаног круга троугла \(ABC.\)

  1. Показати да је \(\overrightarrow{HT}=2\overrightarrow{TO}.\)
  2. Показати да је \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.\)

2

15 поена

Одредити једначину праве \(p\) која садржи тачку \(P(1,0,-2),\) паралелна је са равни \[\alpha\colon 2x-y+z-3=0\] и има заједничку тачку с правом \[p\colon \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+2}{0}.\]

3

15 поена
  1. Одредити формуле неке ротације равни такве да се \(x\)-оса слика у праву \(y=x,\) а \(y\)-оса у праву \(y=-x.\)
  2. Одредити једначину криве другог реда чије су осе праве \(y=x\) и \(y=-x\) и која садржи тачке \(A(\sqrt 2, \sqrt 2)\) и \(B\left(-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2}\right).\) Која је то крива?

4

15 поена

Свести површ другог реда \(x^2+y^2-2z^2+xy+5xz-5yz=3\) на канонски облик изометријском трансформацијом. Написати формуле трансформације. Одредити тип површи.

5

10 поена

На сфери полупречника \(R\) израчунати површину сферног троугла \(ABC\) чије су странице \(\widehat{AC}=\pi,\) \(\widehat{AC}=\pi\) и \(\widehat{BC}=\frac{2\pi}{3}.\)