Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

За дате неколинеарне тачке \(A,\) \(B,\) \(C\) одређене су тачке \(P,\) \(Q,\) \(R\) тако да је \(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB},\) \(\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{QC}\) и \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{CR}.\)

1. Доказати да су \(P,\) \(Q\) и \(R\) колинеарне.
2. Одредити у ком односу тачка \(Q\) дели дуж \(PR\).

Одредити једначину праве која је паралелна равни \(2x-y-3z+2019=0,\) садржи тачку \((1,1,1)\) и сече праву \[\frac{x-2}{2}=\frac{y}{0}=\frac{z-2}{-3}.\]

Одредити јендачину кружног конуса коме је права \[\frac{x-1}{0}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-2019}{2019}\] оса и коме је раван \(\pi\colon x-z+2=0 \) тангетна раван. Свести једначину добијене површи на канонски облик изометријсском трансформацијом и написати формуле те трансформације.

Тачке \(A(1,0,0),\) \(B(\frac{\sqrt 2}{2},0, \frac{\sqrt 2}{2})\) и \(C(0,1,0)\) леже на јединичној сфери \(x^2+y^2+z^2=1.\) Одредити слику сфере и троугла \(ABC\) при хомотетији са центром у координатном почетку и коефицијентом \(-3.\) Одредити (сферне) углове, дужине страница и површину слике сферног троугла \(ABC.\)