Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Коришћењем својстава скаларног, векторског и мешовитог производа доказати да за произвољне векторе \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d \in \vec E^3\) важи \[\left(\vec a\times \vec b\right) \circ \left(\vec c \times \vec d \right) = \begin{vmatrix} \vec a \circ \vec c & \vec a \circ \vec d \\ \vec b \circ \vec c & \vec b \circ \vec d \end{vmatrix}.\]

Одредити једначину кружног цилиндра \(\mathcal C\) полупречника 3 чија је оса права \[o\colon \frac{x-2}{5}=\frac{y+2}{6}=\frac{z-2}{-2}.\] Одредити једначине равни које садрже тачку \(M(0,1,1)\) и по изводници додирују цилиндар \(\mathcal C.\)

Одредити једначине парабола које садрже тачку \(A(0,7),\) чија је оса \(o\colon x+y+1=0,\) а пресек директрисе и осе тачка \(D(1,-2).\)

Одредити (приближно) растојање између тачака на Земљи између градова \(A(30^\circ \mathrm S, 105^\circ \mathrm E)\) и \(B(45^\circ \mathrm S, 45^\circ \mathrm W).\) Узети да је Земља сфера полупречника \(R=6370\,\mathrm{km}.\)