Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Одредити запремину правилног тетраедра ивице 3, као и растојање између мимоилазних ивица.

Одредити једначину равни која садржи праву \[p\colon \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+4}{1}\] и нормална је на раван \(\alpha\colon 2x+y-z+14=0.\)

Одредити афино пресликавање \(f\) које слика квадрат \(ABCD\) у квадрат \(A'B'C'D'\) ако је \(A(-1,-1),\) \(B(1,-1),\) \(C(1,1),\) \(A'(6,2),\) \(B'(8,4),\) \(C'(6,6).\) Наћи једначину слике хиперболе \(\chi\colon x^2-y^2=1\) при овом пресликавању. Скицирати оба квадрата, хиперболу \(\chi\) и слику \(f(\chi).\) Да ли је \(f\) изометрија?

Свести површ \(x^2-yz+1=0\) на канонски облик изометријском трансформацијом и написати формуле трансформације. Која је то површ из класификације? Скицирати.

На јединичној сфери, дате су тачке \(A(0,0,1)\) и \(B(\frac{\sqrt 2}{2},0, \frac{\sqrt 2}{2}).\) Одредити тачку \(C\) на сфери тако да троугао \(ABC\) буде једнакокраки са основицом \(BC,\) и сферним углом \(\angle BAC =\frac{\pi}{2}.\) Одредити ивице, углове и површину троугла \(ABC.\)