Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смерове М, Н.

Показати да је за свако \(1\lt p\lt \infty \) простор \[X_p =\{f\colon[0,1]\to\mathbb C \mid f\in AC[0,1], \int_{[0,1]}\lvert f'(x)\rvert^p\,\mathrm dm(x) \lt +\infty\}\] Банахов простор у норми \(\lVert f\rVert _{X_p} = \lvert f(x)\rvert +\left(\int_{[0,1]}\lvert f'(x)\rvert^p\,\mathrm dm(x) \right)^{1/p}.\) Показати и да је \(F\colon X_2\to\mathbb C\colon f\mapsto f(0)-2f(1)\) један ограничен линеаран функционал на \(X_2.\)

Нека је \(K\colon L^2[0,1] \to L^1[0,1]\) оператор дат са \(Kf(x)=\frac{1}{x^{4/3}}\int_0^x f(t)\,\mathrm dt.\) Показати да је \(K\) ограничен линеаран оператор и наћи му норму.

Испитати релативну компактност од \(A=\{f\mid f\in AC[a,b], \lVert f\rVert_2 \leqslant 1, \lVert f'\rVert_2\leqslant 1\}\) у простору \(C[a, b].\)

Нека је \(\mathcal H \stackrel{\mathrm{def}}{=} L^2((0,+\infty), \mathrm d\mu),\) где је \(\mathrm d\mu = te^{-t}\mathrm d t.\) Показати да оператор \(T\colon \mathcal H\to\mathcal H\) дат са \(Tf(x)=f(x+2)\) припада \(\mathcal B(\mathcal H),\) израчунати \(\lVert T\rVert\) и одредити \(T^*.\) Испитати да ли је \(T\) нормалан оператор.