Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смер В.

Нека је \[X=\{f\in L^1[0,2]\mid(\forall a,b\in[0,2])\,\frac{1}{b-a}\int\limits^{b}_a \left\lvert f(x)-f_{a,b}\right\rvert \mathrm dx\leqslant M\lt+\infty\},\] где је \(f_{a,b}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.\) За \(f\in X\) дефинишемо \[\lVert f\rVert_X=\int\limits_0^2 \lvert f(x)\rvert\,\mathrm dx +\sup_{[a,b]\subset[0,2]}\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^b\left\lvert f(x)-f_{a,b}\right\rvert \mathrm dx.\] Показати да је са \(\lVert \cdot\rVert_X\) дефинисана норма на \(X\) која га чини Банаховим.

Нека је \(0\lt h\lt 1/2\) и \(A_h \colon L^1(0,1)\to L^1(0,1)\) оператор задат са \[\left(A_h f\right)(x)=\frac{1}{h}\int\limits_0^h \left(1-\frac{1}{h}\right)f\left(x+t\right)\mathrm dt.\] Доказати да \(A\in B(L^1(0,1))\) и да је \(\lVert A_h\rVert \leqslant {1}/{2}\) као и да \(A_h\) јако конвергира ка \(\frac{1}{2} I\) кад \(h\to 0^+.\)

Показати да је \(L^2(\mathbb R, e^{-x^2}\mathrm dx)=\{f\colon \mathbb R\to\mathbb C\mid \int_{\mathbb R} \lvert f(x)\rvert^2 e^{-x^2}\mathrm dx\}\) Хилбертов простор, ако у њега уведемо скаларни прозвод са \[\langle f,g\rangle =\int\limits_{\mathbb R} f(x)\,\overline{g(x)}\,e^{-x^2}\,\mathrm dx.\] Одредити потом у \(L^2(\mathbb R, e^{-x^2}\mathrm dx)\) растојање \(\operatorname{dist}(A, B),\) где је \(A=x+\mathcal L \{1, x^2\}\) и \(B=x^4+\mathcal \{1,x\}.\)

Нека је \(A\colon C[0,1]\to C[0,1]\) линеарни оператор задат са \[\left(A f\right) (x)=\int\limits_0^1 \ln (1+tx)\, f(t)\, \mathrm dt.\] Показати да је \(A\) ограничен и да je скуп \(\{Af \mid \lVert f\rVert_{\infty} \lt 1\}\) релативно компактан у \(C[0,1].\) Наћи норму функционала \[g^*\colon C[0,1]\to\mathbb C\colon f\mapsto \int\limits_0^1 \ln (1+t)\, f(t)\, \mathrm dt.\]