Колоквијум из предмета Анализа 3Б За смерове М, Н.

Нека је \(Y\) Банахов простор, \(l^p(Y)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{\bm{x}=(x_n)^\infty_{n=1} \mid x_n\in Y,\, \sum_{n=1}^\infty\lVert x_n\rVert_Y^p \lt \infty\}\) и \(\lVert \bm x\rVert_{l^p(Y)}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty \lVert x_n\rVert_Y^p}\) за \(p\le 1\) и \(\bm x\in l^p(Y).\)

1. Доказати да је за свако \(p,q\le 1\) простор \(l_{p,w}^{q}(Y)\) свих низова из \(Y\) за које је норма дата формулом \[\lVert (x_n)_{n=1}^\infty \rVert_{l_{p,w}^{(q)}(Y)} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup_{n\ge 1} \left(n^{\frac{1-p}{pq}} \sqrt[q]{\sum_{k=1}^{n}\lVert x_k\rVert^q_Y}\right)\] за све \((x_n)^{\infty}_{n=1}\in l_{p,w}^{q}(Y),\) коначна, јесте Банахов простор у односу на ту норму.
2. Показати да је \(l^{pq}(Y)\subset l^{(q)}_{p,w}(Y)\) као и \(\lVert \bm x\rVert_{p,w}^{(q)}\le\lVert \bm x \rVert_{pq}\) за свако \(\bm x\in l^{pq}(Y)\) и \(p,q\le 1.\)

Нека је \(n\ge 3\) и \(\mathfrak a^*_n, \mathfrak a^*\colon C[-2,2]\to\mathbb C\) дефинисани са \[\mathfrak a_n^* f = \int\limits_{-3}^1f(x+1)\,\mathrm dx-\sum_{k=1}^n f\left(\frac{1}{\ln k}+(-1)^k\right)\] и \[ \mathfrak a^* f =\int\limits_{-3}^1f(x+1)\,\mathrm dx-\sum_{k=1}^\infty f\left(\frac{1}{\ln k}+(-1)^k\right).\] Испитати да ли \(\mathfrak a^*_n, \mathfrak a^*\in (C[-2,2])^*\) и у потврдном одговору одредити им норму.

Нека је \(p\gt 1.\) У зависности од \(\alpha\in\mathbb R\) испитати слабу конвергенцију низа функција \[\left(\frac{\frac{\pi}{2}-\arcctg\left(n^\alpha x\right) }{\sqrt n x}\right)_{n=1}^\infty\] у простору \(L^p(0,\infty).\)