Писмени испит из предмета Анализа 3Б За смерове М, Н.

1. Показати да израз \[\lVert (x_{m,n})_{m\in \mathbb Z, n=1,2}\rVert = \sup_{m\in\mathbb Z} \lvert x_{m,1}\rvert + \left(\sum_{m\in\mathbb Z}\lvert x_{m,2}\rvert^2\right)^{1/2}\] дефинише норму на простору \[X=\left\{ (x_{m,n})_{m\in \mathbb Z, n=1,2} \mid x_{m,n}\in\mathbb C,\, \lim_{m\to\infty } x_{m,1}=0, \text{ постоји }\lim_{m\to - \infty} x_{m,1}\text{ и }\sum_{m\in\mathbb Z}\lvert x_{m,2}\rvert^2 \lt +\infty \right\}\] која га чини Банаховим.
2. Показати да је пресликавање \(f^*\colon X\to\mathbb C\) дато са \[f^*(x)=\sum_{m\in\mathbb Z} \frac{m x_{m,1} }{3^{\lvert m\rvert}}+\frac{3}{2\sqrt{\ln 4}}\sum_{m\in\mathbb Z\setminus \{0\}}\frac{x_{m,2}}{2^{\lvert m\rvert/2}\lvert m\rvert^{1/2}}\] линеарно и ограничено и одредити \(\lVert f^*\rVert.\)

Нека је \(K\colon \mathbb R^2\to\mathbb C\) мерљива функција и \(C\ge 0,\) \(\gamma \gt 0\) такви да важи \(\lvert K(x,y)\rvert \le C(1+\lvert x-y\rvert)^{-1-\gamma}\) за све \(x,y\in\mathbb R\) и \(\int_{\mathbb R} K(x,y)\, \mathrm d y =1\) за свако \(x\in\mathbb R.\) За \(r \gt 0\) и \(1\le p \lt \infty\) дефинисан је оператор \(Т_r\colon L^{p}(\mathbb R) \to L^{p}(\mathbb R)\) са \[\left(T_r f\right)(x)=\int_{\mathbb R}\frac{1}{r} K\left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}\right) f(y)\,\mathrm d y.\] Доказати да \(T_r \xrightarrow{s} I\) кад \(r\to 0^+.\)

Нека је \(A\colon \mathcal H\to\mathcal H\) линеаран ограничен оператор на Хилбертовом простору \(\mathcal H\) такав да је \(\langle Af, f\rangle + \langle A^*f, f\rangle \ge 0\) за \(f\in\mathcal H.\) Показати да је \(\sigma(A)\subseteq \{z\in\mathbb C \mid \operatorname{Re} z\ge 0\}\) и да важи \(\lVert (A-\lambda I)^{-1}\rVert \le \lvert \operatorname{Re} \lambda\rvert^{-1}\) за \(\operatorname{Re}\lambda\lt 0.\)

Нека је \(X\) нормиран простор, \(f^{*}\in X^*,\) \(f^*\ne0\) и \(L=\{x\in X\mid f^*(x)=0\}.\) Показати да је \(\operatorname{dist}(x,L)=\frac{\lvert f*(x)\rvert}{\lVert f*\rVert}\) за свако \(x\in X.\)