Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.
1
Дата је правилна четворострана пирамида \(ABCDV\) са врхом \(V.\) Квадрат \(ABCD\) има за центар тачку \(O,\) а дужина његове странице једнака је висини пирамиде, док је тачка \(G\) таква да је \(\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{VO}.\) Израчунати \(\angle(\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{VC}).\) Ако је \(E\) средиште дужи \(VC\) а \(\lVert \overrightarrow{AB}\rVert =1\) користећи векторску алгебру израчунати површину троугла \(AGE.\)
2
Одредити све равни које садрже праву \[p\colon \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{0},\] а са правом \[q\colon \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+3}{0}\] заклапају угао од \(\frac{\pi}{6}.\)
3
Одредити све параболе које имају директрису \(d\colon x+y+1=0\) и садрже тачке \(A\left(3,0\right)\) и \(B\left(7,0\right).\)
4
Одредити једначину конуса који има врх \(V\left(0,1,1\right)\) и директрису \(x^2-3y^2,\) \(z=0.\)