Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Дат је произвољан троугао \(ABC\). Нека је тачка \(E\) таква да је \(\overrightarrow{BE}:\overrightarrow{EC}=5:7,\) док је \(F\) средиште дужи \(BC.\) У равни \(ABC\) изабрана су два афина координатна система. Систем \(Axy\) има почетак у \(A\) и координатне векторе \(\overrightarrow{e}_1=\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{e}_2=\overrightarrow{AC},\) док систем \(Ax'y'\) има почетак у \(A\) и координатне векоре \(\overrightarrow{f}_1=\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{f}_2=\overrightarrow{AF}.\) Изразити координате \((x,y)\) произвољне тачке \(M\) у односу на систем \(Axy\) помоћу координата \((x',y')\) те исте тачке у односу на систем \(Ax'y'.\) Одредити координате тежишта троугла \(ABC\) у односу на оба система

Одредити раван \(\alpha\) која са равни \(\beta\colon y+z=2011\) гради угао од \(\frac{\pi}{4},\) садржи праву \[p\colon \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}\] и сече праву \[q\colon\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+3}{1}.\]

Дата је елипса \[\Gamma\colon 2x^2+3xy+5y^2+5x-4y+1=0.\] Одредити дијаметар који садржи тачку \(A\left(2,3\right)\) а онда одредити њему конјуговани дијаметар.

Одредити једначину кружног конуса \(\mathcal K\) који има врх \(V\left(1,4,6\right)\) и додирује сферу \[\sigma\colon x^2+y^2+z^2-2x-6z=0.\] Колики је полупречник круга по ком конус \(\mathcal K\) додирује сферу \(\sigma\)?