Писмени испит из предмета Геометрија 1 За смерове Л, М, Н, Р, В.

Нека је тачка \(P\) средиште тежишне дужи \(CC_1\) троугла \(ABC.\) Ако је тачка \(Q\) пресек правих \(AP\) и \(BC,\) одредити односе \(BQ:QC\) и \(AP:PQ.\)

Одредити вредност параметра \(\lambda\) за коју се праве \[p\colon\frac{x-\lambda}{2}=\frac{\lambda-y}{-1}=\frac{z-1}{2}\] и \[q\colon y=2,\,x-z-1=0\] налазе у истој равни.

Наћи једначину праве \(l\) која садржи тачку \(T\left(3,-3,1\right)\) и паралелна је равнима \(\alpha\colon x-2y+z+2=0,\) и \(\beta\colon 3x-y-2z+2013=0.\) Одредити потом праву \(l'\) симетричну правој \(l\) у односу на раван \(\alpha.\)

Нека су тачке \(A\left(-4,-1\right),\) \(B\left(5,0\right)\) и \(C\left(-3,0\right)\) темена троугла \(ABC.\) Одредити једначину криве другог реда описане око троугла \(ABC\) ако је познато да је центар тражене криве \(O\left(1,-1\right).\)

Одредити једначину бар једног правог кружног конуса описаног око сфера \[\begin{aligned} \sigma_1&\colon x^2+y^2+z^2+2x+4y+6z+10=0, \\ \sigma_2&\colon x^2+y^2+z^2-10x-8y-6z+49=0. \end{aligned}\]