Писмени испит из предмета Комплексна анализа А За смер М.

1. Ако је функција \(u\left(z\right) = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\rho}\) реални део аналитичке функције \(f = f(z),\) где је \(z = \rho e^{i\theta},\) одредити \(f.\)
2. Нека је \(\mathbb{D} = \{z \in \mathbb C : \lvert z \rvert \lt 1\}\) и \(f\colon \mathbb D \rightarrow \mathbb C\) таква да су функције \(f^2\) и \(f^3\) холоморфне на \(\mathbb D.\) Доказати да је \(f\) холоморфна на \(\mathbb D.\)

Нека је \(g\left(z\right) = (\operatorname{Im}z)^2+\frac{1}{4}z^2,\) где је \(z \in \mathbb C.\) Одредити функцију \[ \displaystyle f\left(\omega\right) =\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\lvert z \rvert =1} \frac{g\left(z\right)}{z - \omega}\, dz,\] за \(\lvert \omega \rvert \neq 1.\)

Одредити вредност интеграла \[\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\sin{kx}}{x(x^2+a^2)^2}\,dx\] у зависности од параметра \(k \in \mathbb N\) и \(a \neq 0,\) \(a \in \mathbb R.\)

1. Нека је \(\Omega = \{z \in \mathbb C : \operatorname{Re}z \gt 0, \operatorname{Im}z \gt 0\}.\) Ако је \(b \in (0, +\infty)\) и \(f(z) = \frac{z-ib}{z+ib},\) наћи \(f(\Omega).\)
2. Ако је \(\mathbb D = \{z \in \mathbb C: \lvert z \rvert \lt 1\},\) одредити бар једно 1-1 холоморфно пресликавање којим се област \(\mathbb D \cap \Omega\) пресликава на \(\Omega.\)

1. За све \(z \in \mathbb C\) такве да постоји \(t_0 = \sup \{t \in [0,1]: \lvert f(tz)\rvert \leq 1\},\) доказати да је \({\lvert f(z) - f(t_0 z)\rvert \leq \lvert z \rvert.}\)
2. Доказати да је \(f(z) = az + b,\) где су \(a,b \in \mathbb C.\)