Писмени испит из предмета Комплексне функције За смер Р.

1. [10] Нека је \(v\colon \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\) дефинисана са \(v\left(x,y\right) = 2\cos x \ch y -x^2+y^2.\) Одредити аналитичку функцију \(f\colon \mathbb C \rightarrow \mathbb C\) такву да је \(\text{Im }f = v\) и \(f\left(0\right) = 2i.\)
2. [10] Нека је \(D \subset \mathbb C\) отворен скуп, \(f\colon D \rightarrow \mathbb C\) аналитичка функција на \(D\) и нека су \(u = \text{Re }f\) и \(v = \text{Im }f.\) Доказати да су функције \(U = e^{u^2-v^2}\cos{2uv}\) и \(V = e^{u^2-v^2}\sin{2uv}\) хармонијске на \(D.\)

1. [10] Одредити (ако постоји) билинеарно пресликавање \(B\colon \overline \mathbb C \rightarrow \overline \mathbb C\) такво да је \(B(0) = 1,\) \(B(\infty) = 0,\) \(B(-1) = \infty\) и које скуп \(\{z \in \mathbb C : \text{Re }z = 0\}\) пресликава на скуп \(\left\{\omega \in \mathbb C : \left\lvert \omega - \frac{1}{2}\right\rvert = \frac{1}{2} \right\} \setminus \{0\}\)
2. [10] Нека је пресликавање \(f\colon \mathbb C \rightarrow \mathbb C\) дефинисано са \(f(z) = e^z.\) Пресликавањем \(f\) пресликати скуп \(A = \left\{i \frac{\pi}{2}, -i \pi, \ln 2+ i\pi, -i \frac{3\pi}{2}, -\ln 2, \ln3 - \ln 4 + i\frac{\pi}{4}\right\}.\) Скуп \(f(A)\) представити графички.

1. [10] Функцију \(f\) представити Лореновим редом у максималном прстену чији је центар тачка \(z_0 = 0\) и који садржи криву \(\gamma.\)
2. [10] Израчунати \(\int_\gamma f(z)dz.\)

Нека је \(\mathbb D = \{z \in \mathbb C : \lvert z \rvert \lt 1\}.\)

1. да ли постоји "1-1" и "на" функција \(f\colon \mathbb D \rightarrow \mathbb C?\)
2. да ли постоји "на" аналитичка функција \(f\colon \mathbb D \rightarrow \mathbb C?\)