МАТФ РОКОВИ
22.01.2020.

Писмени испит из предмета Комплексне функције За смер Р.

1

20 поена

Нека је \(f\colon \mathbb C \rightarrow \mathbb C\) дефинисана са \(f(z) = \sqrt{\lvert xy \rvert} + ixy, \) при чему је \(x = \text{Re }z\) и \(y = \text{Im }z.\)

  1. [10] Да ли функција \(f\) испуњава Коши-Риманове услове у тачки \(z_0 = 0?\) Да ли је функција \(f \) \(\mathbb C\)-диференцијабилна у тачки \(z_0 = 0\) ?
  2. [10] Одредити све тачке \(z \in \mathbb C\) у којима је функција \(f\) аналитичка.

2

20 поена
  1. [5] Одредити билинеарно пресликавање \(B\colon \overline \mathbb C \rightarrow \overline \mathbb C\) такво да је \(B(1) = 0,\) \(B(0) = -\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{\sqrt 2}{2}i\) и \(B(\infty) = \infty.\)
  2. [7] Пресликавањем \(B\) (из дела 1) пресликати област \(\{z \in \mathbb C : \text{Re }z + \text{Im }z\lt 1\}.\)
  3. [8] Нека је \(f(z) = e^{B(z)},\) при чему је \(B\) из дела 1. Пресликавањем \(f\) пресликати област \({\{z \in \mathbb C : \text{Re }z + \text{Im }z \lt 1\}.}\)

3

20 поена

Нека је \(f(z) = \frac{1}{(z^2+1)(z+i)}\) и \(\gamma(t) = i+e^{it},\) при чему је \(t \in [0, 2\pi]\)

  1. [10] Функцију \(f\) представити Лореновим редом у максималном прстену чији је центар тачка \(z_0 = i\) и који садржи криву \(\gamma.\)
  2. [10] Израчунати \(\int_{\gamma}f(z)dz\)

4

20 поена

Израчунати: \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos}{x^2+2x+10}\,dx\] и \[\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin}{x^2+2x+10}\,dx.\]

5

20 поена
  1. Нека је \(f\colon \mathbb C \rightarrow \mathbb C\) аналитичка функција таква да је функција \(g\colon \mathbb C \rightarrow \mathbb C\) дефинисана са \({g(z) = e^{f(z)}}\) константна функција. Доказати да је функција \(f\) константна функција.
  2. Нека је \(f\colon \mathbb C \rightarrow \mathbb C\) аналитичка функција таква да је \(\text{Re }f(z) + \text{Im }f(z)\lt 1\) за свако \(z \in \mathbb C.\) Доказати да је \(f\) константна функција.